Question

如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．
（1）由題設條件，請寫出三個正確結論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結論過程中添加的字母和輔助線不能出現在結論中，不必證明）
答：結論一：______；
結論二：______；
結論三：______．
（2）若∠B=45°，BC=2，當點D在BC上運動時（點D不與B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此時BD的長．
（注意：在第（2）的求解過程中，若有運用（1）中得出的結論，須加以證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠B=∠C，根據等腰三角形的性質可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根據相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD；
（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB為等腰直角三角形，則AC=BC=×2=，由∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根據相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD，則有AD：AC=AE：AD，即AD²=AE•AC，
AE===•AD²，當AD⊥BC，AD最小，且AD=BC=1，此時AE最小為，利用CE=AC-AE得到CE的最大值；
②討論：當AD=AE時，則∠1=∠AED=45°，得到∠DAE=90°，則點D與B重合，不合題意舍去；當EA=ED時，如圖1，則∠EAD=∠1=45°，所以有AD平分∠BAC，得到AD垂直平分BC，則BD=1；
當DA=DE時，如圖2，由△ADE∽△ACD，易得△CAD為等腰三角形，則DC=CA=，于是有BD=BC-DC=2-．
解答：解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；

（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴AC=BC=×2=，
∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴AD：AC=AE：AD，即AD²=AE•AC，
∴AE===•AD²，
當AD最小時，AE最小，此時AD⊥BC，AD=BC=1，
∴AE的最小值為×1²=，
∴CE的最大值=-=；
②當AD=AE時，
∴∠1=∠AED=45°，
∴∠DAE=90°，
∴點D與B重合，不合題意舍去；
當EA=ED時，如圖1，
∴∠EAD=∠1=45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴BD=1；
當DA=DE時，如圖2，
∵△ADE∽△ACD，
∴DA：AC=DE：DC，
∴DC=CA=，
∴BD=BC-DC=2-，
∴當△ADE是等腰三角形時，BD的長為1或2-．
點評：本題考查了相似形綜合題：運用相似比進行線段的計算；熟練掌握等腰直角三角形的性質；學會運用分類討論的思想解決數學問題．