Question

如圖1，在△ABC與△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AB=BD，M、M′分別為AB、BD中點(diǎn)．
（1）探索CM與EM′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，連接MM′并延長(zhǎng)交CE于點(diǎn)K，試判斷CK與EK之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）CM=EM′．
證明：根據(jù)線段中點(diǎn)的概念和已知的AB=BD，得BM=DM′；
在△BCM與△DEM′中，
∵∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，
∴△BCM≌△DEM′，
∴CM=EM′；

（2）CK=KE．理由如下：
如圖2，延長(zhǎng)MK至L，使KL=MM'，連接LE，
則KL+KM′=MM'+KM′，即KM=LM′，
由（1）可知CM=EM′，
∵BD=AB，M是AB的中點(diǎn)，M'是BD的中點(diǎn)，
∴BM=BM′，
∴∠BMM′=∠BM′M，
由（1）知△BCM≌△DEM′，
∴∠BMC=∠EM′D，
∴∠CMK=∠KM′E，
∴△CMK≌△EM′L，
∴CK=EL，
又∠CKM=∠LKE=∠KLE，
∴KE=LE，
∴CK=KE．
分析：（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的概念和已知的AB=BD，得BM=DM′；在△BCM與△DEM′中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AB=BD，可得△BCM≌△DEM′，則CM=EM′；
（2）延長(zhǎng)MK至L，使KL=MM'，連接LE，先證明△CMK≌△EM′L后即可得出答案；
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)及三角形的角平分線，中線和高，難度較大，關(guān)鍵是巧妙作輔助線證明三角形全等．