Question

如圖，射線AM∥BN，∠A=∠B=90°，點D、C分別在AM、BN上運動（點D不與A重合、點C不與B重合），E是AB邊上的動點（點E不與A、B重合），在運動過程中始終保持DE⊥EC且AD+DE=AB=a．
（1）求證：△ADE∽△BEC；
（2）設(shè)AE=m，請?zhí)骄浚骸鰾EC的周長是否與m值有關(guān)？若有關(guān)，請用含有m的代數(shù)式表示△BEC的周長；若無關(guān)，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知得出∠BEC=∠EDA，再利用∠B=90°，∠A=90°即可得出；
（2）根據(jù)△AED的周長=AE+AD+DE=a+m，BE=a-m，利用勾股定理得出AD的長，進而表示出△BEC的周長即可得出答案．

解答：（1）證明：∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°
又∵∠A=∠B=90°，
∴∠AED+∠EDA=90°，
∴∠BEC=∠EDA（4分），
∴△ADE∽△BEC；

（2）△AED的周長=AE+AD+DE=a+m，BE=a-m
設(shè)AD=x，則DE=a-x（7分），
∵∠A=90°，
∴DE²=AE²+AD²
即a²-2ax+x²=m²+x²
∴x=

a2-m2

2a

，
由（1）知△ADE∽△BEC，
∵

△ADE的周長

△BEC的周長

=

AD

BE

=

a2-m2 2a

a-m

=

a+m

2a

，
∴△BEC的周長=

2a•△ADE的周長

a+m

=2a，
∴△BEC的周長與m的值無關(guān)．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理應(yīng)用等知識，根據(jù)已知得出△ADE與△BEC周長比是解決問題的關(guān)鍵．