Question

如圖所示，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，過(guò)多少秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似？

Answer 1

【答案】分析：由∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，利用勾股定理即可求得AB與AC的長(zhǎng)，然后設(shè)過(guò)t秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似，則可得BP=2tcm，CP=BC-BP=8-2t（cm），CQ=tcm，再分別從當(dāng)時(shí)，△CPQ∽△CBA與當(dāng)時(shí)，△CPQ∽△CAB，去分析求解即可求得答案．
解答：解：∵∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，
∴設(shè)AC=3xcm，AB=5xcm，
則BC==4x（cm），
即4x=8，
解得：x=2，
∴AC=6cm，AB=10cm，
∴BC=8cm，
設(shè)過(guò)t秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似，
則BP=2tcm，CP=BC-BP=8-2t（cm），CQ=tcm，
∵∠C是公共角，
∴①當(dāng)，即時(shí)，△CPQ∽△CBA，
解得：t=2.4，
②當(dāng)，即時(shí)，△CPQ∽△CAB，
解得：t=，
∴過(guò)2.4或秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想與方程思想的應(yīng)用．