Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC，交DE的延長(zhǎng)線與點(diǎn)F，連接BF．
（1）求證：四邊形ADBF是平行四邊形；
（2）若∠ADF=∠BDF，DF=2CD，求∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠BDE，

在△AEF與△BED中， ，

∴△AEF≌△BED，

∴AF=BD，

∵AF∥BD，

∴四邊形ADBF是平行四邊形

（2）解：∵∠ADF=∠BDF，

∴∠ADF=∠AFD，

∴AD=AF，

∴ADBF是菱形，

∴DF=2DE，AE⊥DF，

∵DF=2CD，

∵∠C=90°，

∴DC=DE，

在Rt△ACD與Rt△AED中， ，

∴Rt△ACD≌Rt△AED，

∴AC=AE= AB，

∴∠ABC=30°

【解析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFE=∠BDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=BD，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件得到ADBF是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB⊥DF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=AE= AB，于是得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．