Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝ax2－8ax(a＜0)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為P．點(diǎn)C為y軸正半軸上一點(diǎn)，直線AC與該圖像的另一交點(diǎn)為B，與過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)D，且CB：AB＝1：7．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示)；

（2）連接BP，若△BDP與△AOC相似（點(diǎn)O為原點(diǎn)），求此二次函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）A(8，0), C(0，－8a)．(2)

【解析】試題分析：（1）由y＝ax2－8ax可得A(8，0)，由CB：AB＝1：7得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，故B(1，－7a)，C(0，－8a)．

（2）對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PD于點(diǎn)F，易知，BF＝3，AH＝4，DH＝－4a，則FD＝－3a， PF＝－9a，由相似，可知：BF2=DF·PF，從而求得a的值，故可求函數(shù)關(guān)系式.

試題解析：（1）P(4，－16a)，A(8，0)，

∵CB：AB＝1：7，

∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1

∴B(1，－7a)，

∴C(0，－8a)．

（2）∵△AOC為直角三角形，

∴只可能∠PBD＝90°，且△AOC∽△PBD．………（5分）

設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PD于點(diǎn)F，

易知，BF＝3，AH＝4，DH＝－4a，則FD＝－3a，

∴PF＝－9a，

由相似，可知：BF2＝DF·PF，

∴9＝－9a·(－3a)，

∴a＝， a＝－ (舍去)．

∴y＝－x2－x．