Question

【題目】已知四邊形ABCD是正方形，點E、F分別在射線AB、射線BC上，AE=BF，DE與AF交于點O.

（1）如圖1，當點E、F分別在線段AB、BC上時，則線段DE與線段AF的數量關系是 ， 位置關系是.
（2）將線段AE沿AF進行平移至FG，連結DG.
①如圖2，當點E在AB延長線上時，補全圖形，寫出AD，AE，DG之間的數量關系.
②若DG= ， ，直接寫出AD長。

Answer 1

【答案】
（1）DE=AF；DE⊥AF
（2）

解：①如圖2， DG2=2AD2+2AE

由題意得，AE=FG，AE∥FG，

∴四邊形FAEG是平行四邊形，

∴AF=EG，

由勾股定理得，DE2=AD2+AE2，

在△DAE和△ABF中，

，

∴△DAE≌△ABF，

∴DE=AF，DE⊥AF，

∴DE=EG，DE⊥EG，

∴DG2=2DE2，

∴DG2=2AD2+2AE2.

②由①得， ，

整理得AD2+AD-12=0

解得，AD1=3，AD2=-4（舍去）.

故AD長為3.

【解析】解：（1）在△DAE和△ABF中，

∴△DAE≌△ABF，
∴DE=AF，∠ADE=∠BAF，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，即∠AOE=90°，
∴DE⊥AF，
所以答案是：DE=AF；DE⊥AF.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．