Question

18．已知⊙O，AB是直徑，AB=4，弦CD⊥AB且過OB的中點(diǎn)，P是劣弧BC上一動點(diǎn)，DF垂直AP于F，則P從C運(yùn)動到B的過程中，F(xiàn)運(yùn)動的路徑長度（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$π
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{2}{3}$π
• D． 2

Answer 1

分析 作DQ⊥AC于Q，如圖，當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)時，F(xiàn)點(diǎn)與Q重合；當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)時，F(xiàn)點(diǎn)與E點(diǎn)重合，利用圓周角定理的推論判斷點(diǎn)F在以AD為直徑的圓上，則點(diǎn)F運(yùn)動的路徑為$\widehat{QE}$，再計(jì)算MQ的長度和∠QME的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算F運(yùn)動的路徑長度．

解答 解：作DQ⊥AC于Q，如圖，
當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)時，F(xiàn)點(diǎn)與Q重合；當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)時，F(xiàn)點(diǎn)與E點(diǎn)重合，
∵∠AFD=90°，
∴點(diǎn)F在以AD為直徑的圓上，
∴點(diǎn)F運(yùn)動的路徑為$\widehat{QE}$，
∵弦CD⊥AB且過OB的中點(diǎn)，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD，CE=DE=$\sqrt{3}$，AC=AC=2$\sqrt{3}$，
∴∠DOE=60°，
∴∠DAC=60°，
∴△ACD為等邊三角形，
∴MQ和ME為中位線，
∴MQ=$\sqrt{3}$，∠QME=60°，
∴F運(yùn)動的路徑長度=$\frac{60•π•\sqrt{3}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了軌跡：點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動所形成的圖形叫這個點(diǎn)運(yùn)動的軌跡．也考查了垂徑定理和圓周角定理．