Question

【題目】已知正方形OABC的邊OC、OA分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（10，10），點(diǎn)P從O出發(fā)沿O→C→B運(yùn)動，速度為1個(gè)單位每秒，連接AP．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t．

（1）若拋物線y=﹣（x﹣h）2+k經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，求拋物線函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)0≤t≤10時(shí)，如圖1，過點(diǎn)O作OH⊥AP于點(diǎn)H，直線OH交邊BC于點(diǎn)D，連接AD，PD，設(shè)△APD的面積為S，求S的最小值；
（3）在圖2中以A為圓心，OA長為半徑作⊙A，當(dāng)0≤t≤20時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸（Q在P的上方），且線段PQ=t+12：
①當(dāng)t在什么范圍內(nèi)，線段PQ與⊙A只有一個(gè)公共點(diǎn)？當(dāng)t在什么范圍內(nèi)，線段PQ與⊙A有兩個(gè)公共點(diǎn)？
②請將①中求得的t的范圍作為條件，證明：當(dāng)t取該范圍內(nèi)任何值時(shí)，線段PQ與⊙A總有兩個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=﹣（x﹣h）2+k經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，

∴根據(jù)對稱性可知h=5，

將B（10，10）代入y=﹣（x﹣5）2+k，可得10=﹣25+k，

解得k=35，

∴拋物線函數(shù)關(guān)系式為y=﹣（x﹣5）2+35；

（2）解：如圖1，∵OD⊥AP，∠AOP=90°，

∴∠OAP+∠AOD=∠COD+∠AOD=90°，

∴∠OAP=∠COD，

又∵∠AOP=∠OCD=90°，AO=OC，

∴△AOP≌△OCD，

∴OP=CD=t，

∴CP=10﹣t，BD=10﹣t，

∵S△ADP=S正方形ABCO﹣S△AOP﹣S△ABD﹣S△CDP，

∴當(dāng)0≤t≤10時(shí)，S=10×10﹣ ×10t﹣ t（10﹣t）﹣ ×10（10﹣t）= t2﹣5t+50，

配方，得S= （t﹣5）2+ ，

∴當(dāng)t=5時(shí)，Smin=

（3）解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在⊙A上時(shí)，連接AQ，

∵PQ=12+t，PR=BC=10，

∴RQ=2+t，

又∵AQ=AB=10，AR=OP=t，

∴Rt△ARQ中，t2+（t+2）2=102，

解得t1=6，t2=﹣8（舍去），

∴當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)Q落在⊙A上；

如圖，當(dāng)P在CB上時(shí)，CQ與⊙A相切，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，t=10；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，t=20；

∴當(dāng)0≤t＜6或10≤t≤20時(shí)，線段PQ與⊙A只有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)6≤t＜10時(shí)，線段PQ與⊙A有兩個(gè)公共點(diǎn)；

②如圖，當(dāng)6≤t＜10時(shí)，AR=t＜10，

∴⊙A與直線PQ相交，

又∵AP2=AO2+OP2=100+t2，即AP＞10，

∴點(diǎn)P在⊙A外，

又∵AQ2=AR2+RQ2=t2+（t+2）2，r2=100，

∴AQ2﹣r2=t2+（t+2）2﹣100=2（t+1）2﹣98，

∴當(dāng)6≤t＜10時(shí)，2（t+1）2﹣98≥0，

∴點(diǎn)Q在⊙A上或⊙A外，

綜上所述，當(dāng)6≤t＜10時(shí)，線段PQ與⊙A總有兩個(gè)公共點(diǎn)．

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和二次函數(shù)的對稱性可求出h=5，再把B的坐標(biāo)代入解析式可求得；
（2）先證明△AOP≌△OCD可得OP=CD=t，從而可表示出CP和BD，根據(jù)S△ADP=S正方形ABCO﹣S△AOP﹣S△ABD﹣S△CDP可得S與t的關(guān)系式，從而求出S的最小值；
（3）①先求出點(diǎn)P與點(diǎn)C重合、與點(diǎn)B重合時(shí)的t的值以及Q落在圓A上時(shí)的t的值，結(jié)合題意可得t的取值范圍；
②由題意易得圓A與直線PQ相交和點(diǎn)P在圓外，在證明點(diǎn)Q在圓上或圓外即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的最值和勾股定理的概念的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．