Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，已知 A(4，0)、B(1，3)， 過的直線是繞著△OAB的頂點A旋轉(zhuǎn)，與y軸相交于點P，探究解決下列問題：

（1）如圖1所示，當直線旋轉(zhuǎn)到與邊OB相交時，試用無刻度的直尺和圓規(guī)確定點P的位置，使頂點O、B到直線的距離之和最大，（保留作圖痕跡）；

（2）當直線旋轉(zhuǎn)到與y軸的負半軸相交時，使頂點O、B到直線的距離之和最大，請直接寫出點P的坐標是 ．（可在圖2中分析）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（0，）．

【解析】

（1）如圖1，過A點作直線⊥OB于點F，與y軸的交點即為所確定的P點位置．

過點O作OD⊥于D，過點B作BC⊥于C．利用三角形的面積公式得到為定值，FA取最小值即可．由垂線段最短入手進行解答；

（2）如圖2所示，延長BA到G點，使BA=AG，聯(lián)結(jié)OG，結(jié)合（1）問得到到的距離之和最大時的位置，過點B作BE⊥OA于點E，過點G作GH⊥x軸于點H，利用三角形全等得到相關(guān)數(shù)量關(guān)系，再利用等角的三角函數(shù)可得答案．

（1）、如圖1，過A點作直線⊥OB于點F，與y軸的交點即為所確定的P點位置．

理由如下：

如圖1所示，過點O作OD⊥于D，過點B作BC⊥于C．

∵為定值．

要使點O、B到直線l的距離之和最大，即OD+BC最大，

只要使FA最小，

∴過A點作直線⊥OB于點F，此時FA即為最小值（此時，點F、D、C重合）．

∴與y軸的交點即為所確定的P點位置；

尺規(guī)作圖如下圖；

（2）、如圖2所示，延長BA到G點，使BA=AG，聯(lián)結(jié)OG，

則 旋轉(zhuǎn)直線 至⊥OG于點F，

此時，關(guān)于點對稱，

到的距離相等，

由（1）知：到的距離之和最大，

所以：到的距離之和最大，

所以與y軸的交點即為所確定的P點，

過點B作BE⊥OA于點E， ∵B（1，3），A（4，0），

∴EB=EA=3．

過點G作GH⊥x軸于點H，

∴△ABE≌△AGH（AAS），

∴AH=3，GH=3，

∴OH=7， ∴tan∠HOG=

又∵直線⊥OG于點F，

∴∠OPA=∠HOG，

∴tan∠OPA=tan∠HOG=，

∴ ，

∴ 3 OP =28， ∴OP=

∴P（0，）．