Question

【題目】我們規(guī)定：在正方形ABCD中，以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)A為頂點(diǎn)，且過(guò)對(duì)角頂點(diǎn)C的拋物線，稱(chēng)為這個(gè)正方形的以A為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線．
（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上．
①如圖1，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，求以O(shè)為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線；
②如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為a，其以O(shè)為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線的解析式為y= x2 ， 求a的值；

（2）如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），正方形的四條對(duì)角拋物線在正方形ABCD內(nèi)分別交于點(diǎn)M、P、N、Q，直接寫(xiě)出四邊形MPNQ的形狀和四邊形MPNQ的對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如圖1中，設(shè)O為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2，

∵過(guò)B（2，2），

∴2=4a，

∴a= ，

∴所求的拋物線的解析式為y= x2．

②如圖2中，設(shè)B（a，a）．

則有a= a2，解得a=4或0（舍棄），

∴B（4，4），

∴OA=4，

∴正方形的邊長(zhǎng)為4

（2）

解：如圖3中，結(jié)論：四邊形MPNQ是菱形，對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）．

理由：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，A（3，2），

∴B（7，2），C（7，6），D（3，6），

∴以A為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線為y= （x﹣3）2+2，

以B為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線為y= （x﹣7）2+2，

以C為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線為y=﹣ （x﹣7）2+6，

以D為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線為y=﹣ （x﹣3）2+6，

由 可得M（5，3），

由 可得N（5，5），

由 可得P（3+2 ，4），

由 可得Q（7﹣2 ，4），

∴PM= ，

PN= ，

QN= ，

QM= ，

∴PM=PN=QN=QM，

∴四邊形MPNQ是菱形，對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，5）

【解析】（1）①設(shè)O為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2 ， 把B（2，2）代入即可解決問(wèn)題．②設(shè)B（a，a）．代入y= x2求出a即可解決問(wèn)題．（2）如圖3中，結(jié)論：四邊形MPNQ是菱形，對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）．求出A、B、C、D的頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線，利用方程組求出M、P、N、Q的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的正方形的性質(zhì)，需要了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．