Question

【題目】如圖1和2，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PB為半徑的弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接PF，PD，PB．

（1）如圖1，點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，請(qǐng)寫出PF和PD的數(shù)量關(guān)系：；

（2）如圖2，點(diǎn)P不是AC的中點(diǎn)，
①求證：PF=PD．
②若∠ABC=40°，直接寫出∠DPF的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）PF=PD
（2）

解：①證明：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠BAC=∠DAC．

在△ABP和△ADP中，

，

∴△ABP≌△ADP（SAS），

∴PB=PD，

又∵PB=PF，

∴PF=PD．

②解：以P為圓心，PB為半徑作圓P，則點(diǎn)B、F、D都在圓P上，連接BD．

由圓周角定理，可得∠DPF=2∠DBF，

又∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ABC=2∠DBF，

∴∠DPF=∠ABC=40°．

【解析】（1）先根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分得出PB=PD，而由已知有PB=PF，則PF=PD；（2）①先由菱形的性質(zhì)得出AB=AD，∠BAC=∠DAC，再由SAS證明△ABP≌△ADP，得出PB=PD，又PB=PF，則PF=PD；
②由于PB=PD=PF，以P為圓心，PB為半徑作圓P，則點(diǎn)B、F、D都在圓P上，連接BD，則∠DPF=2∠DBF=∠ABC=40°．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半才能正確解答此題．