Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝x2+mx+m﹣1的頂點(diǎn)為D，交y軸于C點(diǎn)，交x軸于A(x1，0)，B(x2，0)兩點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸左邊，點(diǎn)B在y軸右邊，且AB＝4．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，AP⊥AD交拋物線于P．求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，點(diǎn)H為B，D之間拋物線上一點(diǎn)，直線CH交BD于E，交x軸于F，若S△CDE＝S△BEF，求H點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P(，)；（3）H為(，﹣)

【解析】

（1）由韋達(dá)定理得：x1+x2=-m，x1x2=m-1，而x2-x1=4，即：（x1+x2）2-4x1x2=16，即可求解；

（2）如下圖，利用△AEP∽△PFE即可求解；

（3）設(shè)直線CF的表達(dá)式為y=kx-3求出E、F坐標(biāo)，利用由S△CDE=S△BEF，即可求解．

解：（1）由韋達(dá)定理得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣1，

而x2﹣x1＝4，即：（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，

解得：m＝﹣2，m＝6（舍去），

故函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3，

則：A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4）；

（2）如下圖，過A點(diǎn)作y軸的平行線交過P點(diǎn)與x的平行線與E，交過點(diǎn)D與x軸的平行線與F，

∵AP⊥AD，

∴∠DAF+∠AEP＝90°，∠EPA+∠EAP＝90°，

∴∠EPA＝∠DAF，

∴△AEP∽△PFE，

∴，

設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3）

其中：PE＝m+1，AF＝4，AE＝m2﹣2m﹣3，FD＝2，代入上式，

解得：m＝，m＝﹣1（舍去），

即：P（，）；

（3）設(shè)：直線CF的表達(dá)式為y＝kx﹣3…①，

直線BD的方程為：y＝2x﹣6…②，

聯(lián)立①、②解得E（，），F（，0），

過D點(diǎn)做DM∥y軸，交FC于H，

S△CDE＝HMxE＝（k﹣3+4），

S△BEF＝BFyE＝（﹣3）（），

由S△CDE＝S△BEF，解得：k＝2或，

則：CF的表達(dá)式為y＝2x﹣3或y＝x﹣3…③，

將③與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立，解得：x＝或x＝0（舍去），

故點(diǎn)H為（，﹣）．