Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，連結(jié)DE，過點(diǎn)E作DE的垂線交AB于點(diǎn)F．

求證：；

求BF的最大值；

如圖2，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，以EF為邊，在EF上方作等邊，求邊EG的中點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，BF存在最大值；（3）點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是．

【解析】分析：（1）依據(jù)∠BFE+∠BEF=90°，∠CED+∠BEF=90°，即可得到∠BFE=∠CED，再根據(jù)∠CED=∠ADE，即可得出∠BFE=∠ADE；

（2）依據(jù)△BEF∽△CDE，即可得到，設(shè)BE=x（0≤x≤3），則CE=3-x，根據(jù)BF=，即可得到當(dāng)x=時(shí)，BF存在最大值；

（3）連接FH，取EF的中點(diǎn)M，連接BM，HM，依據(jù)BM=EM=HM=FM，可得點(diǎn)B，E，H，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，連接BH，則∠HBE=∠EFH=30°，進(jìn)而得到點(diǎn)H在以點(diǎn)B為端點(diǎn)，BC上方且與射線BC夾角為30°的射線上，再過C作CH'⊥BH于點(diǎn)H'，根據(jù)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，即可得到點(diǎn)H從點(diǎn)B沿BH運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H'，再利用在Rt△BH'C中，BH'=BCcos∠CBH'=3×=，即可得出點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是．

詳解：證明：如圖1，在矩形ABCD中，，

，

，

，

，

，

，

；

由可得，，，

∽，

，

在矩形ABCD中，，，

設(shè)，則，

，

，，

當(dāng)時(shí)，BF存在最大值；

如圖2，連接FH，取EF的中點(diǎn)M，連接BM，HM，

在等邊三角形EFG中，，H是EG的中點(diǎn)，

，，

又是EF的中點(diǎn)，

，

在中，，M是EF的中點(diǎn)，

，

，

點(diǎn)B，E，H，F四點(diǎn)共圓，

連接BH，則，

點(diǎn)H在以點(diǎn)B為端點(diǎn)，BC上方且與射線BC夾角為的射線上，

如圖，過C作CH'⊥BH于點(diǎn)H'，

∵點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，

∴點(diǎn)H從點(diǎn)B沿BH運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H'，

在Rt△BH'C中，∠BH'C=90°，

∴BH'=BCcos∠CBH'=3×=，

點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是．