Question

（2006•荊門）某環(huán)保器材公司銷售一種市場(chǎng)需求較大的新型產(chǎn)品，已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為40元，經(jīng)銷過(guò)程中測(cè)出銷售量y（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元）存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，每年銷售該種產(chǎn)品的總開(kāi)支z（萬(wàn)元）（不含進(jìn)價(jià)）與年銷量y（萬(wàn)件）存在函數(shù)關(guān)系z(mì)=10y+42.5．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）寫出該公司銷售該種產(chǎn)品年獲利w（萬(wàn)元）關(guān)于銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（年獲利=年銷售總金額一年銷售產(chǎn)品的總進(jìn)價(jià)一年總開(kāi)支金額）當(dāng)銷售單價(jià)x為何值時(shí)，年獲利最大？最大值是多少？
（3）若公司希望該產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于57.5萬(wàn)元，請(qǐng)你利用（2）小題中的函數(shù)圖象幫助該公司確定這種產(chǎn)品的銷售單價(jià)的范圍．在此條件下要使產(chǎn)品的銷售量最大，你認(rèn)為銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖象可知y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b，用“兩點(diǎn)法”可求解析式；
（2）根據(jù)年獲利=年銷售總金額一年銷售產(chǎn)品的總進(jìn)價(jià)一年總開(kāi)支金額，列出函數(shù)關(guān)系式；
（3）求出年銷售獲利等于57.5萬(wàn)元時(shí)，銷售單價(jià)x的值，從而確定銷售單價(jià)x的范圍，及二次函數(shù)w最大時(shí)，x的值．
解答：解：（1）由題意，設(shè)y=kx+b，圖象過(guò)點(diǎn)（70，5），（90，3），
∴
解得
∴y=-x+12．

（2）由題意，得
w=y（x-40）-z
=y（x-40）-（10y+42.5）
=（x+12）（x-40）-10（x+12）-42.5
=-0.1x²+17x-642.5=（x-85）²+80．
當(dāng)85元時(shí)，年獲利的最大值為80萬(wàn)元．

（3）令w=57.5，得-0.1x²+17x-642.5=57.5．
整理，得x²-170x+7000=0．
解得x₁=70，x₂=100．
由圖象可知，要使年獲利不低于57.5萬(wàn)元，銷售單價(jià)應(yīng)在70元到100元之間．
又因?yàn)殇N售單價(jià)越低，銷售量越大，
所以要使銷售量最大，又使年獲利不低于57.5萬(wàn)元，銷售單價(jià)應(yīng)定為70元．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及一次函數(shù)、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．