Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（，1），拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C．

（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式：

（2）將△OAC沿直線AC折疊，點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)記為點(diǎn)D，請(qǐng)判斷：點(diǎn)D是否在拋物線上？并說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)E為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

①若點(diǎn)P在拋物線上，其橫坐標(biāo)為m，當(dāng)PE⊥AC且PE＝時(shí)．請(qǐng)直接寫出m的值；

②若點(diǎn)F為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且CE＝AF，當(dāng)OE+OF的值最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+l；（2）不在；（3）①m＝2±2或；②

【解析】

（1）將點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）不在，理由：利用△CDG∽△DHA，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（，），即可求解；

（3）①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+1），點(diǎn)E（n，﹣n+1），利用EH＝|﹣n+1+m2﹣m﹣1|＝1，PH＝|m﹣n|＝，即可求解；

②將矩形ABCO圍繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至矩形O′A′B′C，則圖示位置為圖象旋轉(zhuǎn)后的位置，當(dāng)B′、E、O三點(diǎn)共線時(shí)，OE+OF＝OB′最小，即可求解．

解：（1）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：1＝﹣3+b+1，解得：b＝，

故二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+l；

（2）不在，理由：

過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線分別交AB的延長(zhǎng)線和y軸于點(diǎn)G、H，

∴∠CDA＝90°，∠GDC+HDA∠＝90°，∠HDA+∠DAH＝90°，

∴∠DAH＝∠GDC，

∴△CDG∽△DHA，

∴，

解得：DG＝，HA＝，故：點(diǎn)D的坐標(biāo)是（，），

將代入拋物線表達(dá)式，則y＝≠所以點(diǎn)D不在拋物線上；

（3）①∵PE⊥AC，∴∠PEH+∠HEA＝90°，∠HEA+∠EAO＝90°，

∴∠PEH＝∠CAO＝α，

點(diǎn)B的坐標(biāo)是（，1），tan∠ABC＝＝tanα，即：∠ABC＝30°＝α，

PH＝PEsinα＝，EH＝1，

把點(diǎn)AC的表達(dá)式為：y＝kx+1，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入并求解得：

直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x+1，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+1），點(diǎn)E（n，﹣n+1），

EH＝|﹣n+1+m2﹣m﹣1|＝1…①，

PH＝|m﹣n|＝…②，

聯(lián)立①②并解得：m＝2±2或；

②∵∠ABC＝30°，∴△O′OC為等邊三角形，

將矩形ABCO圍繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至矩形O′A′B′C，則圖示位置為圖象旋轉(zhuǎn)后的位置，

連接O′F′、B′E、OE，∵CE＝AF＝A′F′，

∴四邊形O′F′B′E為平行四邊形，

∴OE+OF＝OE+B′E，故：當(dāng)B′、E、O三點(diǎn)共線時(shí)，OE+OF＝OB′最小，

旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B′O′與x軸垂直，則yB′＝AB+A′C＝+＝，同理xB′＝，

即點(diǎn)B′（，），

則直線OB′的表達(dá)式為：y＝x，

同理可得直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x+1，

以上兩式聯(lián)立并求解得：x＝，y＝，

即點(diǎn)E（，），

同理可得點(diǎn)．