Question

【題目】如圖，直線與拋物線相交于A(，）和B（4，），點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PC的長(zhǎng)有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）求△PAC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=2x2-8x+6；（2）線段PC最大且為．（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，5）或（，）

【解析】

試題分析：（1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．

（2）要弄清PC的長(zhǎng)，實(shí)際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差．可設(shè)出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到關(guān)于PC與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出PC的最大值．

（3）當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí)，根據(jù)直角頂點(diǎn)的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解．

試題解析：（1）∵B（4，m）在直線y=x+2上， ∴m=4+2=6，∴B（4，6）

∵A、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx+6上，

∴

解得

∴拋物線的解析式為y=2x2-8x+6

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，n+2），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，2n2-8n+6）

∴PC=（n+2）-（2n2-8n+6）=-2n2+9n-4

=-2（n-）2+，∵PC＞0，

∴當(dāng)n=時(shí)，線段PC最大且為．

（3）∵△PAC為直角三角形，

i）若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則∠APC=90°由題意易知，PC∥y軸，∠APC=45°，因此這種情形不存在.—1分

ii）若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則∠PAC=90°．如答圖3-1，

過點(diǎn)A（）作AN⊥x軸于點(diǎn)N，

則ON=，AN=．過點(diǎn)A作AM⊥直線AB，交x軸于點(diǎn)M，

則由題意易知，△AMN為等腰直角三角形，

∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，

∴M（3，0）．

設(shè)直線AM的解析式為：y=kx+b，

則：，解得

∴直線AM的解析式為：y=-x+3 ①

又拋物線的解析式為：y=2x2-8x+6 ②

聯(lián)立①②式，解得：x=3或x=（與點(diǎn)A重合，舍去）∴C（3，0），即點(diǎn)C、M點(diǎn)重合．

當(dāng)x=3時(shí)，y=x+2=5，

∴P1（3，5）

iii）若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則∠ACP=90°．∵y=2x2-8x+6=2（x-2）2-2，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2．

如答圖3-2，作點(diǎn)A（，）關(guān)于對(duì)稱軸x=2的對(duì)稱點(diǎn)C，

則點(diǎn)C在拋物線上，且C（，）．

當(dāng)x=時(shí)，y=x+2=．∴P2（，）．

∴綜上所述，△PAC為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，5）或（，）