Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2．作△ABC的高CD，作△CDB的高DC1，作△DC1B的高C1D1，……，如此下去，那么得到的所有陰影三角形的面積之和為__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

易知所有白色部分的小直角三角形都與陰影部分的三角形相似，那么它們的面積比應(yīng)該等于相似比的平方，它們的相似比為AC：CD，AC的長(zhǎng)已知，根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法可求得CD，由此求得陰影部分占△ABC面積的比例大小，從而可求得陰影部分的面積和．

∵DC1∥AC，

∴Rt△ACD∽△CDC1，同理可證：Rt△C1D1D∽Rt△C1D1C2，…；

即白色部分的小直角三角形與陰影部分的小直角三角形逐一對(duì)應(yīng)相似，

∵如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，

∴AB=2AC=4，BC=

在Rt△ABC中，CD⊥AB，

由S=ACBC=ABCD，故CD=

∴AC：CD=2：

∴白色部分小直角三角形的面積和：陰影部分小直角三角形的面積和=AC2：CD2=4：3，

故S陰影=S△ABC=××2×2=．