Question

等腰直角△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5，現(xiàn)△ABC以每秒2個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，同時(shí)△ABC的邊長(zhǎng)AB、BC又以每秒0.5個(gè)單位沿BA、BC方向增大。
（1）當(dāng)△ABC的邊（BC邊除外）與圓第一次相切時(shí)，點(diǎn)B移動(dòng)了多少距離？
（2）若在△ABC移動(dòng)的同時(shí)，⊙O也以每秒1個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，則△ABC從開始移動(dòng)，到它的邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過了多少時(shí)間？
（3）在（2）的條件下，是否存在某一時(shí)刻，△ABC與⊙O的公共部分等于⊙O的面積？若存在，求出恰好符合條件時(shí)兩個(gè)圖形移動(dòng)了多少時(shí)間？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)第一次相切時(shí)，△ABC移至△A'B'C'處，A'C'與⊙O切于點(diǎn)E，連OE并延長(zhǎng)，交B'C'于F，
設(shè)⊙O與直線l切于點(diǎn)D，連OD，
則OE⊥A'C'，OD⊥直線l，
由切線長(zhǎng)定理可知C'E=C'D，
設(shè)C'D=x，則C'E=x，
易知C'F=x，
∴x+x=1，
∴x=-1，
∴CC'=5﹣1﹣（﹣1）=5-
∴點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（5﹣）÷（2+0.5）=2-
∴點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的的距離為（2﹣）×2=4-；
（2）①∵△ABC與⊙O從開始運(yùn)動(dòng)到最后一次相切時(shí)，是AC與圓相切，且圓在AB的左側(cè)，故路程差為6，速度差為1
∴從開始運(yùn)動(dòng)到最后一次相切的時(shí)間為6秒；
②∵△ABC與⊙O從開始運(yùn)動(dòng)到第二次相切時(shí)，路程差為4，速度差為1，
∴從開始運(yùn)動(dòng)到第二次相切的時(shí)間為4秒，此時(shí)△ABC移至△A′′B′′C′′處，
A′′B′′=1+4×=3；
（3）連接B′′O并延長(zhǎng)交A′′C′′于點(diǎn)P，易證B′′P⊥A′′C′′，且OP=＜1．
∴此時(shí)⊙O與A′′C′′相交
∴不存在。