Question

如圖，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=，邊AB的垂直平分線CD分別與AB、x軸、y軸交于點C、G、D．
（1）求點G的坐標(biāo)；
（2）求直線CD的解析式；
（3）在直線CD上和平面內(nèi)是否分別存在點Q、P，使得以O(shè)、D、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點Q得坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)DC是AB垂直平分線，得出G點為OB的中點，再根據(jù)OB的值，即可求出點G的坐標(biāo)；
（2）先過點C作CH⊥x軸，在Rt△ABO中，根據(jù)∠ABO的度數(shù)和OB的值求出AB的長，再在Rt△CBH中，求出OH的值，得出點D的坐標(biāo)，再設(shè)直線CD的解析式，得出k，b的值，即可求出直線CD的解析式；
 （3）首先判斷出存在點Q、P，使得以O(shè)、D、P、Q為頂點的四邊形是菱形，再分四種情況進(jìn)行討論，根據(jù)條件畫出圖形，分別根據(jù)Q點的不同位置求出Q的坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）∵DC是AB垂直平分線，OA垂直AB，
∴G點為OB的中點，
∵OB=，
∴G（，0）．

（2）過點C作CH⊥x軸于點H，
在Rt△ABO中，∠ABO=30°，OB=，
∴cos30°==，
即AB=×=4，
又∵CD垂直平分AB，
∴BC=2，在Rt△CBH中，CH=BC=1，BH=，
∴OH=-=，
∴C（，-1），
∵∠DGO=60°，
∴OG=OB=，
∴OD=tan60°=4，
∴D（0，4），
設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，則，解得：
∴y=-x+4；
   
（3）存在點Q、P，使得以O(shè)、D、P、Q為頂點的四邊形是菱形．
①如圖，當(dāng)OD=DQ=QP=OP=4時，四邊形DOPQ為菱形，

設(shè)QP交x軸于點E，在Rt△OEP中，OP=4，∠OPE=30°，
∴OE=2，PE=2，
∴Q（2，4-2）．

②如圖，當(dāng)OD=DQ=QP=OP=4時，四邊形DOPQ為菱形，
延長QP交x軸于點F，在Rt△POF中，OP=4，∠FPO=30°，
∴OF=2，PF=2，
∴QF=4+2
∴Q（-2，4+2）．


③如圖，當(dāng)PD=DQ=QO=OP=時，四邊形DOPQ為菱形，在Rt△DQM中，∠MDQ=30°，
∴MQ=DQ=
∴Q（，2）．

④如圖，當(dāng)OD=OQ=QP=DP=4時，四邊形DOQP為菱形，
設(shè)PQ交x軸于點N，此時∠NOQ=∠ODQ=30°，
在Rt△ONQ中，NQ=OQ=2，

∴ON=2，
∴Q（2，-2）；
綜上所述，滿足條件的點Q共有四點：（2，4-2），（-2，4+2），（，2），（2，-2）；
點評：此題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是對（3）中Q點的不同位置分別進(jìn)行求解，不要漏掉．