Question

14．問題情境：在學(xué)完2.4節(jié)圓周角之后，老師出了這樣一道題：
如圖1，已知點(diǎn)A為∠MPN的平分線PQ上的任一點(diǎn)，以AP為弦作圓O與邊PM、PN分別交于B、C兩點(diǎn)，連結(jié)AB、BC、CA，形成了圓O的內(nèi)接△ABC．小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)△ABC是一個等腰三角形，理由是∠ABC=∠APC，∠ACB=∠APB，又由角平分線得∠APC=∠APB，所以∠ABC=∠ACB，AB=AC得證．
請你說出小明使用的是圓周角的哪個性質(zhì)：同弧所對的圓周角相等（只寫文字內(nèi)容）．
深入探究：愛鉆研的小慧卻畫出了圖2，與邊PN的反向延長線交于點(diǎn)C，其它條件不變，△ABC仍是等腰三角形，請你寫出證明過程．
拓展提高：妙想的小聰提出如圖3，如果圓O與邊PN相切于點(diǎn)C（與P點(diǎn)已重合），其它條件不變，△ABC仍是等腰三角形嗎？若是，請寫出證明過程；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 因?yàn)椤螦BC和∠APC都是弧AC對著的圓周角，所以∠ABC=∠APC，即同弧所對的圓周角相等，同理可得∠ACB=∠APB，進(jìn)而可知道小明使用的是圓周角的哪個性質(zhì)；
深入探究：△ABC仍是等腰三角形，由圓的內(nèi)接四邊形定理以及圓周角定理證明再結(jié)合已知條件證明∠ABC=∠ACB即可得到AB=AC；
拓展提高：作直徑CH，連結(jié)AH，由圓周角定理以及其同理和切線的性質(zhì)定理再結(jié)合已知條件證明∠ABC=∠ACB，即可得到AB=AC．

解答 解：問題情境：同弧所對的圓周角相等，
深入探究：△ABC仍是等腰三角形，理由如下：
∵∠ABC+∠APC=180°，∠APN+∠APC=180°，
∴∠ABC=∠APN．
∵PA 平分∠MPN，
∴∠APB=∠APN，
∴∠ABC=∠APB．
而∠APB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
拓展提高：△ABC仍是等腰三角形理由如下：
作直徑CH，連結(jié)AH，
∵CH為直徑，
∴∠AHC=90°，
∴∠H+∠ACH=90°．
∵CN與圓O相切，
∴CN⊥CH，
∴∠ACN+∠ACH=90°，
∴∠ACN=∠H．
∵∠ABC=∠H，
∴∠ACN=∠ABC．
∵PA 平分∠MPN，
∴∠ACB=∠CAN．
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

點(diǎn)評 本題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識點(diǎn)有圓周角定義及其推論、角平分線的定義、圓的內(nèi)接四邊形定理以及切線的性質(zhì)定理，題目的設(shè)計(jì)新穎，對學(xué)生理解問題的能力要求較高，特別是拓展提高部分正確作出圖形的輔助線是解題關(guān)鍵．