Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A為頂點(diǎn)的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．過點(diǎn)P作PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N．

（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ACM的面積最大？最大值為多少？

（3）點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，在線段PE上存在點(diǎn)H，使以C、Q、N、H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？

Answer 1

【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）當(dāng)t＝２時(shí)，△AＭC面積的最大值為1；（3）或．

【解析】（1）由矩形的性質(zhì)得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，由拋物線的頂點(diǎn)為A，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x－1）2＋4，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得a的值；

（2）由點(diǎn)P的坐標(biāo)以及拋物線解析式得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，由A、C的坐標(biāo)得到直線AC的解析式，進(jìn)而得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，即可用關(guān)于t的式子表示MN，然后根據(jù)△ACM的面積是△AMN和△CMN的面積和列出用t表示的△ACM的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到當(dāng)t＝２時(shí)，△AＭC面積的最大值為1；

（3）①當(dāng)點(diǎn)Ｈ在Ｎ點(diǎn)上方時(shí)，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四邊形PNCQ為平行四邊形，所以當(dāng)PQ＝CQ時(shí)，四邊形FECQ為菱形，據(jù)此得到，解得t值；②當(dāng)點(diǎn)Ｈ在Ｎ點(diǎn)下方時(shí)，NH=CQ=，NQ＝CQ時(shí)，四邊形NHCQ為菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．

解：（1）由矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)A（1，4），

∵拋物線的頂點(diǎn)為A，

設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x－1）2＋4，

代入點(diǎn)C（3, 0），可得a＝－1．

∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．

（2）∵P（，４），

將代入拋物線的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝，

∴M（， ），

設(shè)直線AC的解析式為，

將A（１,４），C（３,０）代入，得：，

將代入得，

∴N（，），

∴MN ，

∴，

∴當(dāng)t＝２時(shí)，△AＭC面積的最大值為1．

（3）①如圖１，當(dāng)點(diǎn)Ｈ在Ｎ點(diǎn)上方時(shí)，

∵Ｎ（，），P（，４），

∴PＮ＝４—（）＝＝CQ，

又∵PN∥CQ，

∴四邊形PNCQ為平行四邊形，

∴當(dāng)PQ＝CQ時(shí)，四邊形FECQ為菱形，

PQ2＝PD2+DQ2 ＝，

∴，

整理，得．解得， （舍去）；

②如圖２當(dāng)點(diǎn)Ｈ在Ｎ點(diǎn)下方時(shí)，

NH=CQ=，NQ＝CQ時(shí)，四邊形NHCQ為菱形，

NQ2＝CQ2，得：．

整理，得． ．所以，（舍去）．

“點(diǎn)睛”此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會(huì)用頂點(diǎn)式求拋物線，會(huì)用兩點(diǎn)法求直線解析式，會(huì)設(shè)點(diǎn)并表示三角形的面積，熟悉矩形和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.