Question

【題目】已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點，
（1）如圖，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且BE=AF，求證：△DEF為等腰直角三角形；
（2）若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長線上的點，仍有BE=AF，其他條件不變，那么，△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD，

∵AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點，

∴AD⊥BC，BD=AD．

∴∠B=∠DAC=45°

又BE=AF，

∴△BDE≌△ADF（SAS）．

∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．

∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．

∴△DEF為等腰直角三角形

（2）解：△DEF為等腰直角三角形．

證明：若E，F(xiàn)分別是AB，CA延長線上的點，如圖所示：

連接AD，

∵AB=AC，

∴△ABC為等腰三角形，

∵∠BAC=90°，D為BC的中點，

∴AD=BD，AD⊥BC（三線合一），

∴∠DAC=∠ABD=45°．

∴∠DAF=∠DBE=135°．

又AF=BE，

∴△DAF≌△DBE（SAS）．

∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．

∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．

∴△DEF仍為等腰直角三角形．

【解析】（1）先連接AD，構(gòu)造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底邊上的中線，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可證出：△BED≌△AFD，從而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，從而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；（2）還是證明：△BED≌△AFD，主要證∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°﹣45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再結(jié)合兩組對邊對應(yīng)相等，所以兩個三角形全等．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰直角三角形的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．