Question

【題目】直線EF分別平行四邊形ABCD邊AB、 CD于點E、F，將圖形沿直線EF對折，點A、D分別落在點、A'，D'處，

(1) 如圖1，當(dāng)點A’與點C重合時，連接AF，求證:四邊形AECF是菱形:

(2)若∠A=60°，AD=4， AB=8,

①如圖2.當(dāng)點A’與BC邊的中點G重合時，求AE的長；

②如圖3.當(dāng)點A’落在BC邊上任意點時，設(shè)點P為直線EF上的動點，請直接寫出PC+PA’的最小值 ;

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①AE=；②

【解析】

(1)先證明四邊形AECF是平行四邊形，再由翻折得AF=CF,則四邊形AFCE是菱形；
(2)①如圖2中，作H⊥AB交AB的延長線于H，首先求出GH、BH，設(shè)AE=EG=x，在Rt△EGH中，根據(jù)構(gòu)建方程即可解決問題；
②如圖3中，連接AC交EF于，連接，作CH⊥AB交AB的延長線于H，因為A、關(guān)于直線EF對稱，推出+C=A+C=AC，推出當(dāng)點P與重合時，P+PC的值最小，最小值=AC的長.

（1）如圖1，連接AC，AC交EF于O，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF，

在△OAE和△OCF中，

，

∴△OAE≌△OCF，

∴AE=CF，

∵AE∥CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

由翻折得AF=CF，

∴四邊形AFCE是菱形；

（2）①如圖2，作H⊥AB交AB的延長線于H，

在Rt△GBH中，GB=2，∠GBH=60°，

∴BH=,GH=，

設(shè)AE=EG=x，

在Rt△EGH中，，

∴，

解得x=，

∴AE=；

②如圖3，連接AC交EF于，連接，作CH⊥AB交AB的延長線于H，

∵A、關(guān)于直線EF對稱，

∴=A，

∴+C=A+C=AC，

當(dāng)點P與重合時，P+PC的值最小，最小值=AC的長，

在Rt△BCH中，BC=4，∠CBH=60°，

∴BH=2，CH=，

∴AH=10，

在Rt△ACH中，AC=，

∴P+PC的最小值為img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/07/22/03/1523d778/SYS202007220311032411941781_DA/SYS202007220311032411941781_DA.002.png" width="33" height="24" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,

故答案為：.