Question

閱讀并解答：
①方程x²-2x+1=0的根是x₁=x₂=1，則有x₁+x₂=2，x₁x₂=1．
②方程2x²-x-2=0的根是x₁=

1+ 17

4

，x₂=

1- 17

4

，則有x₁+x₂=

1

2

，x₁x₂=-1．
③方程3x²+4x-7=0的根是x₁=-

7

3

，x₂=1，則有x₁+x₂=-

4

3

，x₁x₂=-

7

3

．
（1）根據以上①②③請你猜想：如果關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個實數根為x₁，x₂，那么x₁，x₂與系數a、b、c有什么關系？請寫出你的猜想并證明你的猜想；
（2）利用你的猜想結論，解決下面的問題：
已知關于x的方程x²+（2k+1）x+k²-2=0有實數根x₁，x₂，且x₁²+x₂²=11，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由①②③中兩根之和與兩根之積的結果可以看出，兩根之和正好等于一次項系數與二次項系數之比的相反數，兩根之積正好等于常數項與二次項系數之比．
（2）欲求k的值，先把代數式x₁²+x₂²變形為兩根之積或兩根之和的形式，然后與兩根之和公式、兩根之積公式聯(lián)立組成方程組，解方程組即可求k值．

解答：解：（1）猜想為：設ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．
理由：設x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，
那么由求根公式可知，x1=

-b+ b2-4ac

2a

，x2=

-b- b2-4ac

2a

．
于是有x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1•x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

，
綜上得，設ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．

（2）x₁、x₂是方程x²+（2k+1）x+k²-2=0的兩個實數根
∴x₁+x₂=-（2k+1），x₁x₂=k²-2，
又∵x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
∴[-（2k+1）]²-2×（k²-2）=11
整理得k²+2k-3=0，
解得k=1或-3，
又∵△=[-（2k+1）]²-4（k²-2 ）≥0，解得k≥-

9

4

，
∴k=1．

點評：本題考查了學生的總結和分析能力，善于總結，善于發(fā)現，學會分析是學好數學必備的能力．
將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．