Question

有一邊長(zhǎng)為2的正方形紙片ABCD，先將正方形ABCD對(duì)折，設(shè)折痕為EF（如圖（1））；再沿過(guò)點(diǎn)D的折痕將角A翻折，使得點(diǎn)A落在EF的H上（如圖（2）），折痕交AE于點(diǎn)G．
（1）求∠ADG的度數(shù)；
（2）求EG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)和正弦的概念求解．
（2）由于正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，所以將正方形ABCD對(duì)折后AF=DF=1，由翻折不變性的原則可知AD=DH=2，AG=GH，在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出EH的長(zhǎng)，再設(shè)EG=x，在Rt△EGH中，利用勾股定理即可求解．

解答：解：（1）∵FD=

CD

2

=

AD

2

=

A′D

2

，∠AFD=90°，
∴sin∠FHD=

DF

HD

=

1

2

，
∴∠FHD=∠ADH=30°，
∵∠ADG=∠HDG，
∴∠ADG=15°．

（2）∵正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，
∴將正方形ABCD對(duì)折后AE=DF=1，
∵△GDH是△GDA沿直線DG翻折而成，
∴AD=DH=2，AG=GH，
在Rt△DFH中，
HF=

HD2-DF2

=

22-12

=

3

，
∴EH=2-

3

，
在Rt△EGH中，設(shè)EG=x，則GH=AG=1-x，
∴GH²=EH²+EG²，
即（1-x）²=（2-

3

）²+x²，
解得x=2

3

-3．
即EG的長(zhǎng)為2

3

-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)，解答此類題目是最常用的方法是設(shè)所求線段的長(zhǎng)為x，再根據(jù)勾股定理列方程求解．