Question

已知點A在數軸上對應的數為a，點B對應的數為b，且|2b-6|+（a+1）²=0，A、B之間的距離記作AB，定義：AB=|a-b|．
（1）求線段AB的長．
（2）設點P在數軸上對應的數x，當PA-PB=2時，求x的值．
（3）M、N分別是PA、PB的中點，當P移動時，指出當下列結論分別成立時，x的取值范圍，并說明理由：①PM÷PN的值不變，②|PM-PN|的值不變．

Answer 1

分析：（1）根據非負數的和為0，各項都為0；
（2）應考慮到A、B、P三點之間的位置關系的多種可能解題；
（3）利用中點性質轉化線段之間的倍分關系得出．

解答：解：（1）∵|2b-6|+（a+1）²=0，
∴a=-1，b=3，
∴AB=|a-b|=4，即線段AB的長度為4．

（2）當P在點A左側時，
|PA|-|PB|=-（|PB|-|PA|）=-|AB|=-4≠2．
當P在點B右側時，
|PA|-|PB|=|AB|=4≠2．
∴上述兩種情況的點P不存在．
當P在A、B之間時，-1≤x≤3，
∵|PA|=|x+1|=x+1，|PB|=|x-3|=3-x，
∴|PA|-|PB|=2，∴x+1-（3-x）=2．
∴解得：x=2；

（3）由已知可得出：PM=

1

2

PA，PN=

1

2

PB，
當①PM÷PN的值不變時，PM÷PN=PA÷PB．

②|PM-PN|的值不變成立．

故當P在線段AB上時，
PM+PN=

1

2

（PA+PB）=

1

2

AB=2，
當P在AB延長線上或BA延長線上時，
|PM-PN|=

1

2

|PA-PB|=

1

2

|AB|=2．

點評：此題主要考查了一元一次方程的應用，滲透了分類討論的思想，體現了思維的嚴密性，在今后解決類似的問題時，要防止漏解．
利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系也是十分關鍵的一點．