Question

無論k取任何實(shí)數(shù)，對(duì)于直線都會(huì)經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，我們就稱直線恒過定點(diǎn).
（1）無論取任何實(shí)數(shù)，拋物線恒過定點(diǎn)，直接寫出定點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）已知△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是（1）中的定點(diǎn)，且∠B，∠C的角平分線分別是y軸和直線，求邊BC所在直線的表達(dá)式；
（3）求△ABC內(nèi)切圓的半徑.

Answer 1

（1）（0,2）或（3，）；（2）；（3）. 

試題分析：（1）將變形為，只要的系數(shù)為0，即有無論取任何實(shí)數(shù)，拋物線恒過定點(diǎn).
（2）根據(jù)角平分線的軸對(duì)稱性質(zhì)，求出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)和關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由該兩點(diǎn)在直線BC上，應(yīng)用待定系數(shù)法求解即可.
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，y軸和直線的交點(diǎn)O即為△ABC內(nèi)切圓的圓心，從而應(yīng)用面積公式即可求解.
試題解析：（1）∵可變形為，
∴當(dāng)，即或時(shí)，無論取任何實(shí)數(shù)，拋物線恒過定點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
∴A（0,2）或（3，）.
（2）∵△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是（1）中的定點(diǎn)， 
∴A（3，）.
∵∠B，∠C的角平分線分別是y軸和直線，
∴點(diǎn)B、點(diǎn)C在點(diǎn)A關(guān)于y軸、直線的對(duì)稱點(diǎn)所確定的直線上.
如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).
直線DE與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)B，與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)C. 連接AB，AC.
設(shè)直線BC的表達(dá)式為.
則有，解之，得.
所以，.

（3） ∵∠B，∠C的角平分線分別是y軸和直線，
∴y軸和直線的交點(diǎn)O即為△ABC內(nèi)切圓的圓心.
過點(diǎn)O作OF于F，則OF即為△ABC內(nèi)切圓的半徑.
設(shè)BC與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)G，易知 ,.
∴.
∵,
∴，即△ABC內(nèi)切圓的半徑為.