Question

13．閱讀下列材料，并解決相關(guān)的問題．
按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，排在第一位的數(shù)稱為第1項(xiàng)，記為a₁，依此類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項(xiàng)，記為a_n．
一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：數(shù)列1，2，4，8，…為等比數(shù)列，其中a₁=1，公比為q=2．
則：（1）等比數(shù)列3，6，12，…的公比q為2，第6項(xiàng)是96．
（2）如果一個數(shù)列a₁，a₂，a₃，a₄，…是等比數(shù)列，且公比為q，那么根據(jù)定義可得到：$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=q，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=q，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=q，…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=q．
所以：a₂=a₁•q，a₃=a₂•q=（a₁•q）•q=a₁•q²，a₄=a₃•q=（a₁•q²）•q=a₁•q³，…
由此可得：a_n=a₁•q^n-1（用a₁和q的代數(shù)式表示）．
（3）對等比數(shù)列1，2，4，…，2^n-1求和，可采用如下方法進(jìn)行：
設(shè)S=1+2+4+…+2^n-1     ①，
則2S=2+4+…+2ⁿ        ②，
②-①得：S=2ⁿ-1
利用上述方法計(jì)算：1+3+9+…+3ⁿ．

Answer 1

分析 （1）由第二項(xiàng)除以第一項(xiàng)求出公比q的值，確定出第6項(xiàng)即可；
（2）根據(jù)題中的定義歸納總結(jié)得到通項(xiàng)公式即可；
（3）類比給出的方法求得答案即可．

解答 解：（1）q=$\frac{6}{3}$=2，第6項(xiàng)是3×2⁵=96；
（2）歸納總結(jié)得：a_n=a₁•q^n-1；
（3）設(shè)S=1+3+9+…+3ⁿ①，
則3S=3+9+…+3ⁿ⁺¹②，
②-①得：2S=3ⁿ⁺¹-1
S=$\frac{{3}^{n+1}-1}{2}$．

點(diǎn)評 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，理解題意，理清數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用運(yùn)算規(guī)律解決問題．