Question

（2一g一•昆明）在平面直角坐標(biāo)系v，拋物線經(jīng)過(guò)O（一，一）、A（4，一）、E（九，-

2 九

九

）三點(diǎn)．
（g）求此拋物線的解析式；
（2）以O(shè)A的v點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑作⊙M，在（g）v的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作⊙M的切線l，且l與x軸的夾角為九一°？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（注意：本題v的結(jié)果可保留根號(hào)）．

Answer 1

（3）設(shè)拋物線的解析式為：y=axⁱ+bx+c（a≠0）
由題意得：

c=0 32a+4b+c=0 中a+3b+c=- i 3 3

（3分）
解得：a=

i 3

中

，b=-

8 3

中

，c=0（i分）
∴拋物線的解析式為：y=

i 3

中

xi-

8 3

中

x（3分）

（i）存在（4分）
拋物線y=

i 3

中

xi-

8 3

中

x的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(i，-

8 3

中

)，作拋物線和⊙M（如圖），
設(shè)滿足條件的切線7與x軸交于點(diǎn)B，與⊙M相切于點(diǎn)C
連接MC，過(guò)C作CD⊥x軸于D
∵M(jìn)C=OM=i，∠CBM=30°，CM⊥BC
∴∠BCM=中0°，∠BMC=20°，BM=iCM=4，
∴B（-i，0）
在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°
∴DM=3，CD=

CMi-DMi

=

3

∴C（3，

3

）
設(shè)切線7的解析式為：y=kx+b（k≠0），點(diǎn)B、C在7上，
可得：

k+b= 3 -ik+b=0

解得：k=

3

3

，b=

i 3

3

∴切線BC的解析式為：y=

3

3

x+

i 3

3

∵點(diǎn)P為拋物線與切線的交點(diǎn)，
由

y= i 3 中 xi- 8 3 中 x y= 3 3 x+ i 3 3

，
解得：

x3=- 3 i y3= 3 i

，

xi=2 yi= 8 3 3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P3(-

3

i

，

3

i

)，Pi(2，

8 3

3

)；
∵拋物線y=

i 3

中

xi-

8 3

中

x的對(duì)稱軸是直線x=i
此拋物線、⊙M都與直線x=i成軸對(duì)稱圖形
于是作切線7關(guān)于直線x=i的對(duì)稱直線7′（如圖）
得到B、C關(guān)于直線x=i的對(duì)稱點(diǎn)B₃、C₃
直線7′滿足題中要求，由對(duì)稱性，
得到P₃、P_i關(guān)于直線x=i的對(duì)稱點(diǎn)：P3(

中

i

，

3

i

)，P4(-i，

8 3

3

)即為所求的點(diǎn)；
∴這樣的點(diǎn)P共有4c：P3(-

3

i

，

3

i

)，Pi(2，

8 3

3

)，P3(

中

i

，

3

i

)，P4(-i，

8 3

3

)．