【題目】如圖1,在直角坐標系xoy中,O是坐標原點,點A在x正半軸上,OA=12 cm,點B在y軸的正半軸上,OB=12cm,動點P從點O開始沿OA以2 cm/s的速度向點A移動,動點Q從點A開始沿AB以4cm/s的速度向點B移動,動點R從點B開始沿BO以2cm/s的速度向點O移動.如果P、Q、R分別從O、A、B同時移動,移動時間為t(0<t<6)s.
(1)求∠OAB的度數(shù).
(2)以OB為直徑的⊙O′與AB交于點M,當t為何值時,PM與⊙O′相切?
(3)是否存在△RPQ為等腰三角形?若存在,請直接寫出t值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:在Rt△AOB中:
tan∠OAB= = = ,
∴∠OAB=30°
(2)解:如圖,連接O′P,O′M.
當PM與⊙O′相切時,有:
∠PMO′=∠POO′=90°,
△PMO′≌△POO′.
由(1)知∠OBA=60°,
∵O′M=O′B,
∴△O′BM是等邊三角形,
∴∠BO′M=60°.
可得∠OO′P=∠MO′P=60°.
∴OP=OO′tan∠OO′P
=6×tan60°=6 ,
又∵OP=2 t,
∴2 t=6 ,t=3.
即:t=3時,PM與⊙O‘相切
(3)解:存在△RPQ為等腰三角形,
理由如下:由題意可知:PR2=16t2﹣48t,PQ2=52t2﹣288t,RQ2=28t2﹣240t+576,
當①PR=RQ時,可得t=8﹣2 (t=8+ 舍去);
當②PR=PQ時,可得t= ;
當③RQ=PQ時,可得t=1+ (t=1﹣ 舍去)
綜上可知:當t=8﹣2 , ,1+ 時,△RPQ為等腰三角形.
【解析】(1)在Rt△OAB中,已知了OA、OB的長,即可求出∠OAB的正切值,由此可得到∠OAB的度數(shù);(2)連接O′M,當PM與⊙O′相切時,PM、PO同為⊙O′的切線,易證得△OO′P≌△MO′P,則∠OO′P=∠MO′P;在(1)中易得∠OBA=60°,即△O′BM是等邊三角形,由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°;在Rt△OPO′中,根據(jù)∠PO′O的度數(shù)及OO′的長即可求得OP的長,已知了P點的運動速度,即可根據(jù)時間=路程÷速度求得t的值;(3)存在△RPQ為等腰三角形,由于△QPQ的腰和底不確定,需分類討論:①PR=RQ,②PR=PQ,③RQ=PQ時分別求出符合題意的t值即可,
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A(3,0)、B(0,﹣3),點P是直線AB上的動點,過點P作x軸的垂線交拋物線于點M,設點P的橫坐標為t.
(1)分別求出直線AB和這條拋物線的解析式.
(2)若點P在第四象限,連接AM、BM,當線段PM最長時,求△ABM的面積.
(3)是否存在這樣的點P,使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請求出點P的橫坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,海上有一燈塔P,在它周圍3海里處有暗礁.一艘客輪以9海里/時的速度由西向東航行,行至A點處測得P在它的北偏東60°的方向,繼續(xù)行駛20分鐘后,到達B處又測得燈塔P在它的北偏東45°方向.問客輪不改變方向繼續(xù)前進有無觸礁的危險?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=-x+4的圖象與反比例 (k為常數(shù),且k≠0)的圖象交于A(1,a),B兩點.
(1)求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標;
(2)連接OA,OB,求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下面兩個圓圈分別表示負數(shù)集合和整數(shù)集合,請在這兩個圓圈內各填入六個數(shù),其中有三個數(shù)既在負數(shù)集合內,又在整數(shù)集合內.這三個數(shù)應填在哪里?你能說出這兩個圓圈的重疊部分表示什么數(shù)的集合嗎?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列現(xiàn)象不屬于平移的是( )
A. 小華乘電梯從一樓到三樓 B. 鐘表在轉動
C. 一個鐵球從高處自由下落 D. 小朋友坐滑梯下滑
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB是⊙O的直徑,點C、D為圓上兩點,且弧CB=弧CD,CF⊥AB于點F,CE⊥AD的延長線于點E.
(1)試說明:DE=BF;
(2)若∠DAB=60°,AB=6,求△ACD的面積.
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