(2008•沈陽)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABOC的邊BO在x軸的負(fù)半軸上,邊OC在y軸的正半軸上,且AB=1,OB=,矩形ABOC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到矩形EFOD.點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A,E,D.
(1)判斷點(diǎn)E是否在y軸上,并說明理由;
(2)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)在x軸的上方是否存在點(diǎn)P,點(diǎn)Q,使以點(diǎn)O,B,P,Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍,且點(diǎn)P在拋物線上?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P,點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)可連接OA,通過證∠AOE=60°,即與旋轉(zhuǎn)角相同來得出OE在y軸上的結(jié)論.
(2)已知了AB,OB的長即可求出A的坐標(biāo),在直角三角形OEF中,可用勾股定理求出OE的長,也就能求得E點(diǎn)的坐標(biāo),要想得出拋物線的解析式還少D點(diǎn)的坐標(biāo),可過D作x軸的垂線,通過構(gòu)建直角三角形,根據(jù)OD的長和∠DOx的正弦和余弦值來求出D的坐標(biāo).
求出A、E、D三點(diǎn)坐標(biāo)后即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(3)可先求出矩形的面積,進(jìn)而可得出平行四邊形OBPQ的面積.由于平行四邊形中OB邊的長是定值,因此可根據(jù)平行四邊形的面積求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)(由于P點(diǎn)在x軸上方,因此P的縱坐標(biāo)為正數(shù)),然后將P點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入拋物線中可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).求出P點(diǎn)的坐標(biāo)后,將P點(diǎn)分別向左、向右平移OB個(gè)單位即可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo),由此可得出符合條件的兩個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)和四個(gè)Q點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)點(diǎn)E在y軸上
理由如下:
連接AO,如圖所示,在Rt△ABO中,∵AB=1,BO=
∴AO=2∴sin∠AOB=,∴∠AOB=30°
由題意可知:∠AOE=60°∴∠BOE=∠AOB+∠AOE=30°+60°=90°
∵點(diǎn)B在x軸上,∴點(diǎn)E在y軸上.

(2)過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M,
∵OD=1,∠DOM=30°
∴在Rt△DOM中,DM=,OM=
∵點(diǎn)D在第一象限,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為
由(1)知EO=AO=2,點(diǎn)E在y軸的正半軸上
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,2)
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-,1)
∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)E,
∴c=2
由題意,將A(-,1),D(,)代入y=ax2+bx+2中,

解得
∴所求拋物線表達(dá)式為:y=-x2-x+2

(3)存在符合條件的點(diǎn)P,點(diǎn)Q.
理由如下:∵矩形ABOC的面積=AB•BO=
∴以O(shè),B,P,Q為頂點(diǎn)的平行四邊形面積為
由題意可知OB為此平行四邊形一邊,
又∵OB=
∴OB邊上的高為2
依題意設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,2)
∵點(diǎn)P在拋物線y=-x2-x+2上
∴-m2-m+2=2
解得,m1=0,m2=-
∴P1(0,2),P2(-,2)
∵以O(shè),B,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,
∴PQ∥OB,PQ=OB=,
∴當(dāng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(0,2)時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q1(-,2),Q2,2);
當(dāng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(-,2)時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q3(-,2),Q4,2).
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),能力要求較高.考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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(1)判斷點(diǎn)E是否在y軸上,并說明理由;
(2)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)在x軸的上方是否存在點(diǎn)P,點(diǎn)Q,使以點(diǎn)O,B,P,Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍,且點(diǎn)P在拋物線上?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P,點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)在x軸的上方是否存在點(diǎn)P,點(diǎn)Q,使以點(diǎn)O,B,P,Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍,且點(diǎn)P在拋物線上?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P,點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(1)請(qǐng)你在圖①中畫一條直線將格點(diǎn)三角形分割成兩部分,將這兩部分重新拼成兩個(gè)不同的格點(diǎn)四邊形,并將這兩個(gè)格點(diǎn)四邊形分別畫在圖②,圖③中;
(2)直接寫出這兩個(gè)格點(diǎn)四邊形的周長.

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