Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c過點(diǎn)A(3，0)，B(1，0)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)沿拋物線向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合)，過點(diǎn)P作PD∥y軸交直線AC于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中線段PD長度的最大值；

(3)在拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使|MA－MC|最大？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝x2－4x＋3.（2）當(dāng)x＝時(shí)，線段PD的長度有最大值.（3）存在點(diǎn)M(2，－3)，使|MA－MC|最大.

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組得到b、c的值，即可得解；

（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PD的長度，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；

（3）根據(jù)拋物線的對稱性可知MA=MB，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點(diǎn)M為直線CB與對稱軸交點(diǎn)時(shí)，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求解即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)A（3，0），B（1，0），

∴，

解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

（2）令x=0，則y=3，

∴點(diǎn)C（0，3），

則直線AC的解析式為y=﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣4x+3），

∵PD∥y軸，

∴點(diǎn)D（x，﹣x+3），

∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，

∵a=﹣1＜0，

∴當(dāng)x=時(shí)，線段PD的長度有最大值；

（3）由拋物線的對稱性，對稱軸垂直平分AB，

∴MA=MB，由三角形的三邊關(guān)系，|MA﹣MC|＜BC，

∴當(dāng)M、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，|MA﹣MC|最大，為BC的長度，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

則，

解得，

∴直線BC的解析式為y=﹣3x+3，

∵拋物線y=x2﹣4x+3的對稱軸為直線x=2，

∴當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣3×2+3=﹣3，

∴點(diǎn)M（2，﹣3），

即，拋物線對稱軸上存在點(diǎn)M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．