Question

【題目】如圖，以AB邊為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，C是⊙O上一點(diǎn)，連結(jié)PC交AB于點(diǎn)E，且∠ACP＝60°，PA＝PD．

（1）試判斷PD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，已知AB＝2，求CECP的值．

Answer 1

【答案】（1）PD是⊙O的切線(xiàn)，理由見(jiàn)解析；（2）2

【解析】

（1）連結(jié)OP，根據(jù)圓周角定理可得∠AOP＝2∠ACP＝120°，然后計(jì)算出∠PAD和∠D的度數(shù)，進(jìn)而可得∠OPD＝90°，從而證明PD是⊙O的切線(xiàn)；

（2）連結(jié)BC，首先求出∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，然后可得AC長(zhǎng)，再證明△CAE∽△CPA，進(jìn)而可得，然后可得CECP的值．

解：（1）如圖，PD是⊙O的切線(xiàn)．

理由如下：

連結(jié)OP，

∵∠ACP＝60°，

∴∠AOP＝120°，

∵OA＝OP，

∴∠OAP＝∠OPA＝30°，

∵PA＝PD，

∴∠PAO＝∠D＝30°，

∴∠OPD＝90°，

∴PD是⊙O的切線(xiàn)．

（2）連結(jié)BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

又∵C為弧AB的中點(diǎn)，

∴∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，

∵AB＝2，AC＝ABsin45°＝，

∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠APC，

∴△CAE∽△CPA，

∴

∴＝2．