Question

12、已知1999個自然數(shù)a₁，a₂，…，a₁₉₉₉滿足條件：其中任意兩數(shù)的和能被它們的差整除．現(xiàn)設(shè)n=a₁a₂…a₁₉₉₉，證明：n，n+a₁，n+a₂，…，n+a₁₉₉₉這2000個數(shù)仍滿足上述條件．

Answer 1

分析：首先通過任意兩數(shù)的和能被它們的差整除，判定這些自然數(shù)的奇偶性，利用奇偶性進一步分析解答即可．

解答：解：因為任意兩數(shù)的和能被它們的差整除，所以這1999個自然數(shù)的奇偶性相同，所以任意兩數(shù)的和或差為偶數(shù)；
由題意知對于1999個自然數(shù)a₁，a₂，…，a₁₉₉₉滿足條件：a_i-a_j|a_i+a_j（i、j=1、2、3、4…1999且i≠j），
可推出a_i-a_j只有等于2時，才能任意兩數(shù)的和能被它們的差整除．
因此對于2000個數(shù)n，n+a₁，n+a₂，…，n+a₁₉₉₉對于任意一個數(shù)與n的差為a_k（k=1，2，3…1999），顯然能整除它們的和；
對于任意一個數(shù)與其它數(shù)的差為a_i-a_j=2，其和為（2n+a_i+a_j），也一定被2整除．
綜上所知n，n+a₁，n+a₂，…，n+a₁₉₉₉這2000個數(shù)仍滿足條件：其中任意兩數(shù)的和能被它們的差整除．

點評：此題主要利用數(shù)的整除性以及數(shù)的奇偶性解決問題．