Question

【題目】如圖，在ABCD（AB＞AD）中，點(diǎn)E在邊AB上，以點(diǎn)E為圓心，AE長(zhǎng)為半徑的⊙E分別交AB、AD于點(diǎn)N、N，與BC所在的直線(xiàn)相切于點(diǎn)G

（1）求證：EG∥MN；

（2）若AB=10，AD與BC之間的距離為6，求⊙E的半徑．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;（2）⊙E的半徑為．

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知∠1=∠2，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可知∠ANM=90°，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可知∠BGE=90°，根據(jù)等角的余角相等可知∠3=∠4，即可證明EG∥MN；

（2）作AH⊥CG延長(zhǎng)線(xiàn)于H，易證△BEG∽△BAH，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得到BE與AE的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)AE+EB=AB列方程求出AE即可．

如圖所示，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠1=∠2，

∵AM是⊙E的直徑，

∴∠ANM=90°，

∵BC所在的直線(xiàn)與⊙E相切于點(diǎn)G，

∴∠BGE=90°，

∴∠3=∠4，

∴EG∥MN；

（2）作AH⊥CG延長(zhǎng)線(xiàn)于H，

∵∠BGE=90°，

∴△BEG∽△BAH，

∴，

∵AE=GE，

∴，

∵AB=10，AH=6，

∴，

∴BE=AE，

∵AE+EB=AB，

∴AE+AE=10，

解得：AE=，

∴⊙E的半徑為．