Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，且交x軸于另外一點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）求證：AB⊥BC；

（3）點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)Q，連結(jié)DQ，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)以B，D，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）見解析；（3）m的值是2或1+或1﹣．

【解析】

（1）令y＝﹣x+2＝0，解得：x＝4，即可求解，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式，借助于方程求得a的值即可；

（2）把由函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理的逆定理證得結(jié)論；

（3）以B、D、Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，利用|MQ|＝BD即可求解．

（1）令y＝﹣x+2＝0，解得：x＝4，y＝0，則x＝2，

即：點(diǎn)A坐標(biāo)為：（4，0）．

代入中，得16a﹣8＝0，得a＝．

∴該拋物線解析式為：y＝x2﹣x﹣2．

（2）由（1）知，拋物線解析式為：y＝x2﹣x﹣2．

∴當(dāng)y＝0時，x1＝﹣1，x2＝4，的C（﹣1，0）．

故OC＝1．

于是AB2＝20，BC2＝5，AC2＝25．

從而AB2+BC2＝AC2．

∴AB⊥BC；

（3）由（1）知，拋物線解析式為： ．

當(dāng)x＝0時，y＝2，得D（0，﹣2），

∴BD＝4．

當(dāng)MQ＝（﹣m+2）﹣＝﹣m﹣4＝4時，得m＝2或m＝0（舍去）．

當(dāng)MQ＝（m2﹣m﹣2）﹣（﹣m+2）＝﹣m﹣4＝4時，得m＝1+或m＝1﹣．

綜上所述，m的值是2或1+或1﹣．