Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）存在，Q（-1，2）；

（3）存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為（-，），S△BPC最大=；

【解析】試題分析：(1)、將點(diǎn)A和點(diǎn)B代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；(2)、根據(jù)題意得出A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則直線BC與x=－1的交點(diǎn)就是點(diǎn)Q，根據(jù)題意得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，從而得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)、首先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)△BPC的面積等于四邊形BPCO的面積減去△BOC的面積，然后列出關(guān)于x的函數(shù)解析式，從而得出最大值.

試題解析：(1)、將A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c中得

∴∴拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；

(2)、存在

理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1對(duì)稱

∴直線BC與x=﹣1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí)△AQC周長(zhǎng)最小∵y=﹣x2﹣2x+3 ∴C的坐標(biāo)為：（0，3）

直線BC解析式為：y="x+3" Q點(diǎn)坐標(biāo)即為解得∴Q（﹣1，2）；

(3)、存在．

理由如下：設(shè)P點(diǎn)（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0） ∵S△BPC=S四邊形BPCO﹣S△BOC=S四邊形BPCO﹣

若S四邊形BPCO有最大值，則S△BPC就最大，

∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC=BEPE+OE（PE+OC）=（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）

=

當(dāng)x=﹣時(shí)，S四邊形BPCO最大值=∴S△BPC最大=

<>當(dāng)x=﹣時(shí)，﹣x2﹣2x+3=∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣，）．