Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B（3，0）、C（﹣1，0）兩點(diǎn)．

（1）求直線AB和拋物線的表達(dá)式；

（2）當(dāng)點(diǎn)F為直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)F作FP//x軸交直線AB于點(diǎn)P；過(guò)點(diǎn)F作FR//y軸交直線AB于點(diǎn)R，求PR的最大值；

（3）把射線BA繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到射線BM，點(diǎn)E在射線BM運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），以BC、BE為鄰邊作平行四邊形BCDE，點(diǎn)H為DE邊上動(dòng)點(diǎn)，連接CH，請(qǐng)直接寫出CH+HE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，直線AB的解析式為y＝﹣x+3；（2）PR有最大值為；（3）最小值為2．

【解析】

（1）將點(diǎn)B，C坐標(biāo)代入拋物線解析式中，即可求出a，c，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；

（2）先判斷出∠OBA＝∠OAB＝45°，進(jìn)而判斷出∠FPR＝∠FRP＝45°，得出∠PFR＝90°，PF＝FR，進(jìn)而得出PR＝FR，再設(shè)點(diǎn)R（t，﹣t+3），得出點(diǎn)F（t，﹣t2+2t+3），進(jìn)而得出PR＝FR＝﹣（t﹣）2+，即可得出結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BM于G，交DE于點(diǎn)H，先判斷出∠DEG＝∠CBE＝45°，進(jìn)而判斷出HG＝HE，根據(jù)垂線段最短和銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0）、C（﹣1，0），

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，

令x＝0，則y＝3，

∴A（0，3），

∴設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），

∵直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3）、B（3，0），

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3；

（2）∵A（0，3），B（3，0），

∴OA＝OB＝3，

∵∠AOB＝90°，

∴∠OBA＝∠OAB＝45°，

∵FP//x軸，FR//y軸，

∴∠FPR＝∠OBA＝45°，∠FRP＝∠OAB＝45°，

∴∠FPR＝∠FRP＝45°，

∴∠PFR＝90°，PF＝FR，

根據(jù)勾股定理得，PR＝FR，

∵點(diǎn)R在直線AB上，

∴設(shè)點(diǎn)R（t，﹣t+3），

∵FR//y軸，

∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為t，

∵點(diǎn)F在拋物線y＝﹣x2+2x+3上，

∴點(diǎn)F（t，﹣t2+2t+3），

∴PR＝FR＝ [（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）]＝﹣（t﹣）2+，

∵a＝﹣＜0，拋物線的開(kāi)口向下，二次函數(shù)有最大值，

當(dāng)t＝時(shí)，PR有最大值，PR的最大值為；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BM于G，交DE于點(diǎn)H，

∵把射線BA繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到射線BM，

∴∠ABM＝90°，

∵∠OBA＝45°，

∴∠CBE＝∠ABM﹣∠OBA＝45°，

∵DE//CB，

∴∠DEG＝∠CBE＝45°，

在Rt△HGE中，HG＝HEsin45°＝HE，

根據(jù)垂線段最短得，（CH+HE）最小＝CG，

∴CH+HE＝CG＝CBsin45°＝2，

即CH+HE的最小值為2．