“百誠(chéng)”公司投資750萬元,成功研制出一種市場(chǎng)需求量較大的產(chǎn)品,并再投入資金1750萬元進(jìn)行相關(guān)生產(chǎn)設(shè)備的購(gòu)買.已知生產(chǎn)過程中,每件產(chǎn)品的成本為60元.在銷售過程中發(fā)現(xiàn),當(dāng)銷售單價(jià)定為120元時(shí),年銷售量為24萬件;銷售單價(jià)每增加10元,年銷售量將減少1萬件.設(shè)銷售單價(jià)為x(元)(x>120),年銷售量為y(萬件),第一年年獲利(年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-投資)為z(萬元).
(1)請(qǐng)直接寫出y與x之間,z與x之間的函數(shù)關(guān)系式:
______,______;
(2)計(jì)算銷售單價(jià)為200元時(shí)的第一年年獲利,請(qǐng)問公司此時(shí)虧損還是盈利?并說明為了得到同樣的年獲利,銷售單價(jià)還可以定為多少元?
(3)公司計(jì)劃:在第一年按年獲利最大時(shí)確定的銷售單價(jià)進(jìn)行銷售;第二年后總獲利要不低于1840萬元.請(qǐng)說明,第二年的銷售單價(jià)x應(yīng)確定在什么范圍內(nèi).
【答案】
分析:(1)由題意根據(jù)單價(jià)之間的關(guān)系,銷售單價(jià)每增加10元,年銷售量將減少1萬件,年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-投資,列出y與x,z與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)把x=200代入函數(shù)式求出z;(3)在第一年按年獲利最大時(shí)確定的銷售單價(jià)進(jìn)行銷售,根據(jù)z與x的關(guān)系式,配方求出最值;第二年后總獲利要不低于1840萬元,令z≤1840解出x值的范圍.
解答:解:由題意得:
(1)y=24-
,即:
,
;
(2)當(dāng)x取200時(shí),
此時(shí)公司虧損了260萬元
因?yàn)榇藪佄锞的對(duì)稱軸為x=210
所以當(dāng)x=220時(shí),也能獲得同樣的年獲利
(3)
∴當(dāng)x=210時(shí),z取最大值,最大值為-250,
也就是說:當(dāng)銷售單價(jià)定為210元時(shí),年獲利最大,并且到第一年年底公司還差250萬元就可收回全部投資
第二年的銷售單價(jià)定為x元,
則年獲利為
=
,
當(dāng)z年獲利為1840萬時(shí),
即z=1840+250=2090,
所以令
,
解得x
1=170,x
2=250,
當(dāng)
時(shí),z≥2090,
∴第二年的銷售單價(jià)應(yīng)確定在不低于170元且不高于250元的范圍內(nèi).
點(diǎn)評(píng):此題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題,從而來解決實(shí)際問題,看似復(fù)雜其實(shí)比較簡(jiǎn)單.