Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD在第一象限內(nèi)，AB∥x軸，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，4）經(jīng)過點(diǎn)O、點(diǎn)C作直線l，將直線l沿y軸上下平移．

（1）當(dāng)直線l與正方形ABCD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求直線l的解析式；

（2）當(dāng)直線l在平移過程中恰好平分正方形ABCD的面積時(shí)，直線l分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，連接BE、BF，求△BEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+3或y＝x﹣；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意求得正方形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線l的解析式，直線平移，斜率不變，設(shè)平移后的直線方程為y＝x+b；把點(diǎn)B和D的坐標(biāo)代入進(jìn)行解答即可；

（2）根據(jù)正方形是中心對(duì)稱圖形，當(dāng)直線l經(jīng)過對(duì)角線的交點(diǎn)時(shí)，恰好平分正方形ABCD的面積，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，代入y＝x+b，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線l的解析式，然后求得E、F的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線BE的解析式，得到與y軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式即可求得．

（1）∵長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，4），

∴B（2，4），C（2，1），D（5，1），

設(shè)直線l的解析式為y＝kx，

把C（2，1）代入得，1＝2k，解得k＝，

∴直線l為：y＝，

設(shè)平移后的直線方程為y＝x+b，

把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，得:4＝×2+b，

解得 b＝3，

把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入，得:1＝×5+b，

解得: b＝﹣，

則平移后的直線l解析式為：y＝x+3或y＝x﹣；

（2）設(shè)AC和BD的交點(diǎn)為P，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），

把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝x+b得，＝+b，

解得b＝，

∴此時(shí)直線l的解析式為y＝x+，如圖，

∴E（﹣，0），F（0，），

設(shè)直線BE的解析式為：y＝mx+n，

則，解得：，

∴直線BE的解析式為：y＝x+，

∴Q（0，），

∴QF＝﹣＝，

∴△BEF的面積＝＝．