【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=4,以AB為直徑的⊙O交BC于點D,交AC于點E,點P是AB的延長線上一點,且∠PDB=∠A,連接DE,OE.
(1)求證:PD是⊙O的切線.
(2)填空:①當(dāng)∠P的度數(shù)為______時,四邊形OBDE是菱形;
②當(dāng)∠BAC=45°時,△CDE的面積為_________.
【答案】(1)見解析;(2)①30;②
【解析】
(1)連接OD,由三角形內(nèi)角和定理可證∠ODB=90°-∠A,進(jìn)而可求∠ODB+∠PDB=90°,即∠ODP為直角,從而結(jié)論得證;
(2)當(dāng)四邊形OBDE為菱形時,△OBD為等邊三角形,則∠P為30°;
(3)連接BE,AD,由圓周角定理可證∠ADB=90°,∠AEB=90°,由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式可知S△DCE=S△BCE,證明△ABE是等腰直角三角形,根據(jù)勾股定理求出AE=BE=,然后根據(jù)三角形面積公式求解即可.
解:(1)連接OD,
∵OB=OD, ∠PDB=∠A,
∴∠ODB=∠ABD=(180°-∠A)=90°-∠A=90°-∠PDB,
∴∠ODB+∠PDB=90°,
∴∠ODP=90°,
∵OD是⊙O的半徑,
∴PD是⊙O的切線.
(2)①30°,理由如下:
若四邊形OBDE為菱形,則OB=BD=DE=EO=OD,
∴△OBD為等邊三角形,
∴∠ABD=∠ODB=60°,
∵∠PDO=90°,
∴∠PDB=30°,
∴∠P=30°,
即當(dāng)∠P為30°時,四邊形OBDE為菱形;
②連接BE,AD,如圖,
∵AB為直徑,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∠AEB=90°,
∵AB=AC,
∴D為BC中點,
∴S△DCE=S△BCE,
∵∠BAC=45°,
∴AE=BE,△ABE是等腰直角三角形,
∵AB=AC=4,
∴AE=BE=,
∴CE=4-,
∴S△DCE=S△BCE,
=×BE·CE
=×××(4-)
=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某初級中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組為了了解本校學(xué)生的年齡情況,隨機(jī)抽取了該校部分學(xué)生的年齡作為樣本,經(jīng)過數(shù)據(jù)整理,繪制出如下不完整的統(tǒng)計圖.依據(jù)相關(guān)信息解答以下問題:
(1)寫出樣本容量 ,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(2)寫出樣本的眾數(shù) 歲,中位數(shù) 歲;
(3)若該校一共有600名學(xué)生.估計該校學(xué)生年齡在15歲及以上的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣2x2+8x﹣6與x軸交于點A、B,把拋物線在x軸及其上方的部分記作C1,將C1向右平移得C2,C2與x軸交于點B,D.若直線y=x+m與C1、C2共有3個不同的交點,則m的取值范圍是( 。
A. ﹣2<m< B. ﹣3<m<﹣ C. ﹣3<m<﹣2 D. ﹣3<m<﹣
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,的半徑為5,點A的坐標(biāo)為(3,0),與x軸相交于點B,C,交y軸正半軸于點D.
(1)求點B,D的坐標(biāo);
(2)過點B作的切線,與過點A,C的拋物線交于點P.拋物線交y軸正半軸于點Q.若P的縱坐標(biāo)為t,四邊形PQAC的面積為y.
①求y與t的函數(shù)關(guān)系式;
②若△PBO與△DOA相似,求取最小值時m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生“陽光體育運動”的實施情況,隨機(jī)調(diào)查了40名學(xué)生一周的體育鍛煉時間,并繪制成了如下圖所示的條形統(tǒng)計圖,根據(jù)統(tǒng)計圖提供的數(shù)據(jù),該校40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時間的眾數(shù)與中位數(shù)分別是( )
A.8,9B.8,8C.9,8D.10,9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究:
如圖1,拋物線與軸交于兩點(點在點的左側(cè)),頂點為,為對稱軸右側(cè)拋物線的一個動點,直線與軸于點,過點作,交軸于點.
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點的坐標(biāo);
(2)如圖2,當(dāng)軸時,將以每秒1個單位長度的速度沿軸的正方向平移,當(dāng)點與點重合時停止平移.設(shè)平移秒時,在平移過程中與四邊形重疊部分的面積為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)如圖3,過點作軸的平行線,交直線于點,直線與交于點,設(shè)點的橫坐標(biāo)為.
①當(dāng)時,求的值;
②試探究點在運動過程中,是否存在值,使四邊形是菱形?若存在,請直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸交于點,與軸交于點拋物線的對稱軸是直線與軸的交點為點且經(jīng)過點兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點為拋物線對稱軸上一動點,當(dāng)的值最小時,請你求出點的坐標(biāo);
(3)拋物線上是否存在點,過點作軸于點使得以點為頂點的三角形與相似?若存在,請直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AB=4cm,C為AB上一動點,過點C的直線交⊙O于D、E兩點,且∠ACD=60°,DF⊥AB于點F,EG⊥AB于點G,當(dāng)點C在AB上運動時,設(shè)AF=xcm,DE=ycm(當(dāng)x的值為0或3時,y的值為2),探究函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律.
(1)通過取點、畫圖、測量,得到了x與y的幾組對應(yīng)值,如下表:
x/cm | 0 | 0.40 | 0.55 | 1.00 | 1.80 | 2.29 | 2.61 | 3 |
y/cm | 2 | 3.68 | 3.84 | 3.65 | 3.13 | 2.70 | 2 |
(2)建立平面直角坐標(biāo)系,描出以補(bǔ)全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點,畫出該函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:點F與點O重合時,DE長度約為 cm(結(jié)果保留一位小數(shù)).
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