Question

【題目】已知關于 的一元二次方程 x2+（2m-1）x+m2=0有兩個實數(shù)根 x1 和 x2 ．
（1）求實數(shù) m 的取值范圍；
（2）當 x12-x22 時，求 m 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有兩個實數(shù)根，
∴△= b2-4ac=（2m-1）2-4×1×m2=-4m+1≥0，
∴m≤ ，
即實數(shù)m的取值范圍為m≤

（2）解：當x12-x22=0時，即（x1+x2）（x1-x2）=0，∴x1+x2=0或x1-x2=0，當x1+x2=0，依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得x1+x2=-（2m-1），∴-（2m-1）=0，∴m= ，又∵由（1）一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有兩個實數(shù)根時的取值范圍是m≤ ，∴m= 不成立，故m無解；當x1-x2=0時，x1=x2，方程有兩個相等的實數(shù)根， ∴△=（2m-1）2-4×1×m2=-4m+1=0，∴m= ，綜上所述，當x12-x22=0時，m=

【解析】（1）根據(jù)題意可知，方程有兩個實數(shù)根，則 b2-4ac≥0，建立不等式求解即可。
（2）將x12-x22=0變形為（x1+x2）（x1-x2）=0，在m取值范圍為m≤ 時，分情況討論：當x1+x2=0；x1-x2=0時，求出符合條件的m的值。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解求根公式的相關知識，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根，以及對根與系數(shù)的關系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商．