Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角三角形AOB的頂點(diǎn)A、B分別落在坐標(biāo)軸上．O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，8）．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)．沿OA向終點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向終點(diǎn)B以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)t=3秒時(shí)，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（2）在此運(yùn)動(dòng)的過程中，△MNA的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△MNA是一個(gè)等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）N（3，4），；（2）存在，最大值為6；（3）2或或．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)和勾股定理可得AB=10，當(dāng)t=3秒時(shí)，AN= ,即N是AB的中點(diǎn)，由此得出點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3,4），設(shè)交點(diǎn)式利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）過N作MA邊上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表達(dá)式，而AM=OA-OM，由三角形的面積公式可得到關(guān)于S△MNA關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的最值原理即可求出△MNA的最大面積（3）首先求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出AM、MN、AN三邊的長(zhǎng)，分三種情況討論：①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA；直接根據(jù)等量關(guān)系列方程求解即可。

試題解析：解：（1）N（3，4）。

∵A（6，0）

∴可設(shè)經(jīng)過O、A、N三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=ax（x﹣6），則將N（3，4）代入得

4=3a（3﹣6），解得a=﹣。

∴拋物線的解析式： 。

（2）存在。過點(diǎn)N作NC⊥OA于C，

由題意，AN=t，AM=OA﹣OM=6﹣t，

∴NC=NAsin∠BAO= 。

∴。

∴△MNA的面積有最大值，且最大值為6。

（3）在Rt△NCA中，AN=t，NC=ANsin∠BAO= ，AC=ANcos∠BAO=t。

∴OC=OA﹣AC=6﹣t。∴N（6﹣t， ）。

∴。

又AM=6﹣t且0＜t＜6，

①當(dāng)MN=AN時(shí)， ，即t2﹣8t+12=0，解得t1=2，t2=6（舍去）。

②當(dāng)MN=MA時(shí)， ，即，解得t1=0（舍去），t2=。

③當(dāng)AM=AN時(shí)，6﹣t=t，即t=。

綜上所述，當(dāng)t的值取 2或或時(shí)，△MAN是等腰三角形。