Question

【題目】已知關(guān)于 x 的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m+1）

（1）試證明：無(wú)論 m 取何值此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若原方程的兩根 x1，x 2 滿(mǎn)足，求 m 的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）m=-

【解析】

（1）將原方程整理成一般式，根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出△=（2m+1）2≥0，進(jìn)而即可證出：無(wú)論m取何值此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=3，x1x2=2-m2-m，再結(jié)合x12+x22-x1x2=3m2+2，可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．

（1）證明：原方程整理得：x2-3x+2-m2-m=0，

∵△=（-3）2-4×1×（2-m2-m）=4m2+4m+1=（2m+1）2≥0，

∴無(wú)論 m 取何值此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵x1，x2 是方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m+1）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴x1+x2=3，x1x2= 2-m2-m．

∵x12+x22-x1x2=3m2+2，即（x1+x2）2-3x1x2=3m2+2，
∴32-3（2-m2-m）=3m2+2，
∴3m+1=0，
∴m=-.