Question

9．（1）如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)BO和CO的交點(diǎn)，若∠A=50°，求∠BOC的度數(shù)．
（2）如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線(xiàn)BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=130°，根據(jù)角平分線(xiàn)定義求出∠OBC+∠OCB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（2）利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)與外角的性質(zhì)得出∠2=$\frac{1}{2}$∠A+∠1，∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得到∠BOC與∠A的關(guān)系．

解答 解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∵∠ABC的平分線(xiàn)與∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°；

（2）∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A，
理由：如圖2，
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線(xiàn)，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2-∠1=$\frac{1}{2}$∠A+∠1-∠1=$\frac{1}{2}$∠A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．