Question

在△ABC中，P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AP為直徑的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)E和點(diǎn)F．

（1）若∠BAC＝45°，EF＝4，則AP的長(zhǎng)為多少？
（2）在（1）條件下，求陰影部分面積．
（3）試探究：當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，EF最短？請(qǐng)直接寫出你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不必證明．

Answer 1

（1）直徑AP=2OE=（2）S_陰影=S_扇形EOF-S_△EOF（3）當(dāng)AP⊥BC時(shí)，EF最短

試題分析：解：（1）連接OE、OF，則OE=OF
∵∠EOF=2∠EAF，而∠EAF=∠BAC=45°
∴∠EOF=90°
∴△EOF是等腰直角三角形
在Rt△EOF中
∴OE=OF=
∴直徑AP=2OE=．
（2）S_陰影=S_扇形EOF-S_△EOF
．
（3）在Rt△AEP中，根據(jù)垂徑定理和勾股定理知，當(dāng)AP取最小值時(shí)，EF的值最小；又根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短垂線段最短知當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP最短．所以當(dāng)AP⊥BC時(shí)，EF最短．
點(diǎn)評(píng)：本題難度中等，主要考查學(xué)生對(duì)圓與三角形知識(shí)點(diǎn)的掌握與學(xué)習(xí)。做這類題型學(xué)生要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思維運(yùn)用到考試中去。