Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，BC＝26 cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以3 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)．當(dāng)t分別為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形及等腰梯形？

Answer 1

答案：
解析：

分析　若四邊形PQCD是平行四邊形，則必有PD＝CQ．即AD－AP＝CQ．若四邊形PQCD是等腰梯形，過點(diǎn)P作PM⊥BC．過點(diǎn)D作DN⊥BC．如答圖，則有Rt△PQM≌Rt△DCN．PD＝MN，故QC－PD＝QC－MN＝2CN．利用上述關(guān)系便可求出相應(yīng)時(shí)間． 　　解　(1)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，則AP＝t，CQ＝3t． ∴PD＝24－t．若四邊形PQCD是平行四邊形．必有PD＝CQ．∴AD－AP＝CQ．∴24－t＝3t．∴t＝6．∴當(dāng)t＝6 s時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形． 　　(2)過P作PM⊥BC于M，過D作DN⊥BC于N．若四邊形PQCD是等腰梯形，則PQ＝CD，∠PQM＝∠DCN又PM⊥BC，DN⊥BC，∴Rt△PQM≌Rt△DCN．∴OM＝CN．又∵AD∥BC，PM⊥BC，DN⊥BC，∴四邊形PMND是矩形．∴PD＝MN． 　　∴QC－PD＝QC－MN＝QM＋NC＝2CN．∵四邊形ABCD是直角梯形，∴AD∥BC，AB⊥BC．又DN⊥BC，∴DN∥AB．∵∠B＝90°．∴四邊形ABND是矩形．∴BN＝AD＝24．∴CN＝BC－AD＝26－24＝2．∵QC－PD＝2CN，∴3t－(24－t)＝2×2．∴t＝7．當(dāng)t＝7 s時(shí)，四邊形PQCD是等腰梯形． 　　點(diǎn)撥　本題化靜為動(dòng)，變成運(yùn)動(dòng)型幾何題．這種題型往往與變量有關(guān)．因此實(shí)際上變成了幾何與函數(shù)的綜合題．