Question

【題目】已知：直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2平行，且它們之間的距離為3，A，B是直線(xiàn)l1上的兩個(gè)定點(diǎn)，C，D是直線(xiàn)l2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），AB=CD=6，連接AC、BD、BC，將△ABC沿BC折疊得到△A1BC．（如圖1）

（1）當(dāng)A1與D重合時(shí)（如圖2），四邊形ABDC是什么特殊四邊形，為什么？

（2）當(dāng)A1與D不重合時(shí)，連接A1D，則A1 D∥BC（不需證明），此時(shí)若以A1，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，且矩形的邊長(zhǎng)分別為a，b，求（a+b）2的值．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABDC是菱形，證明見(jiàn)解析；（2）（a+b）2的值為72或81．

【解析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AC=CD，然后根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形ABDC是菱形；

（2）討論：當(dāng)∠CBD=90°，則∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=6，則S矩形A1CBD=12，即ab=12，由BA1=BA=6，根據(jù)勾股定理得到a2+b2=36，然后根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算；當(dāng)∠BCD=90°，則∠CBA=90°，易得BC=3，而CD=6，所以（a+b）2=（3+6）2．．

（1）四邊形ABDC是菱形；

∵AB=CD，AB∥CD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

又∵A1與D重合時(shí)，

∴AC=CD，

∴四邊形ABDC是菱形；

（2）當(dāng)以A1，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為矩形如圖1時(shí)，連結(jié)A1B，S△A1CB=S△ABC=×6×3＝9

∴S矩形A1CBD=18，即ab=18，而在Rt△BCD中，

∴a2+b2=CD2=36

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=36+36=72，

當(dāng)以A1，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為矩形如圖2時(shí)，

∴（a+b）2=（3+6）2=81，

∴（a+b）2的值為72或81．