Question

（2013•撫順）如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，與x軸交于另一個點(diǎn)C，對稱軸與直線AB交于點(diǎn)E，拋物線頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第三象限內(nèi)，F(xiàn)為拋物線上一點(diǎn)，以A、E、F為頂點(diǎn)的三角形面積為3，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，當(dāng)t為何值時，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？直接寫出所有符合條件的t值．

Answer 1

分析：（1）先由直線AB的解析式為y=x+3，求出它與x軸的交點(diǎn)A、與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)第三象限內(nèi)的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，-m²-2m+3），運(yùn)用配方法求出拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)G，連接FG，根據(jù)S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG-S_△EFG=3，列出關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，進(jìn)而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，n）．先由B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理求出BC²=10，再分三種情況進(jìn)行討論：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB²+BC²=PC²，據(jù)此列出關(guān)于n的方程，求出n的值，再計算出PD的長度，然后根據(jù)時間=路程÷速度，即可求出此時對應(yīng)的t值；②∠BPC=90°，同①可求出對應(yīng)的t值；③∠BCP=90°，同①可求出對應(yīng)的t值．

解答：解：（1）∵y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴當(dāng)y=0時，x=-3，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），
當(dāng)x=0時，y=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
將A（-3，0），B（0，3）代入y=-x²+bx+c，
得

-9-3b+c=0 c=3

，
解得

b=-2 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；

（2）如圖1，設(shè)第三象限內(nèi)的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，-m²-2m+3），則m＜0，-m²-2m+3＜0．
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴對稱軸為直線x=-1，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4），
設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)G，連接FG，則G（-1，0），AG=2．
∵直線AB的解析式為y=x+3，
∴當(dāng)x=-1時，y=-1+3=2，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）．
∵S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG-S_△EFG=

1

2

×2×2+

1

2

×2×（m²+2m-3）-

1

2

×2×（-1-m）=m²+3m，
∴以A、E、F為頂點(diǎn)的三角形面積為3時，m²+3m=3，
解得m₁=

-3- 21

2

，m₂=

-3+ 21

2

（舍去），
當(dāng)m=

-3- 21

2

時，-m²-2m+3=-m²-3m+m+3=-3+m+3=m=

-3- 21

2

，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

-3- 21

2

，

-3- 21

2

）；

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，n）．
∵B（0，3），C（1，0），
∴BC²=1²+3²=10．
分三種情況：
①如圖2，如果∠PBC=90°，那么PB²+BC²=PC²，
即（0+1）²+（n-3）²+10=（1+1）²+（n-0）²，
化簡整理得6n=16，解得n=

8

3

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，

8

3

），
∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4），
∴PD=4-

8

3

=

4

3

，
∵點(diǎn)P的速度為每秒1個單位長度，
∴t₁=

4

3

；
②如圖3，如果∠BPC=90°，那么PB²+PC²=BC²，
即（0+1）²+（n-3）²+（1+1）²+（n-0）²=10，
化簡整理得n²-3n+2=0，解得n=2或1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）或（-1，1），
∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4），
∴PD=4-2=2或PD=4-1=3，
∵點(diǎn)P的速度為每秒1個單位長度，
∴t₂=2，t₃=3；
③如圖4，如果∠BCP=90°，那么BC²+PC²=PB²，
即10+（1+1）²+（n-0）²=（0+1）²+（n-3）²，
化簡整理得6n=-4，解得n=-

2

3

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-

2

3

），
∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4），
∴PD=4+

2

3

=

14

3

，
∵點(diǎn)P的速度為每秒1個單位長度，
∴t₄=

14

3

；
綜上可知，當(dāng)t為

4

3

秒或2秒或3秒或

14

3

秒時，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和三角形的面積求法，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．綜合性較強(qiáng)，難度適中．（2）中將△AEF的面積表示成S_△AEG+S_△AFG-S_△EFG，是解題的關(guān)鍵；（3）中由于沒有明確哪一個角是直角，所以每一個點(diǎn)都可能是直角頂點(diǎn)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．